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Geometrische REIHE Grenzwert bestimmen – Indexverschiebung, Konvergenz von Reihen, Beispiel
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 58 Zeilen
- hey ich bin susanne und ich möchte heute aufgaben mit euch durchgehend bei denen wir den grenzwert von geometrischen reihen aus rechnen sein
- hier vorne die formeln gehen wir gleich noch durch ich zeige euch schon mal die aufgaben die auf uns zukommen hier so eine basic einstiegs aufgabe bisschen
- schwieriger noch ein bisschen schwieriger und noch eine mit einer index verschiebung aber das sehen wir gleich hier vorne steht jetzt erst mal
- die formel wenn wir eine geometrische reihe haben die so in der form aussieht also sowas wie ein halb hoch k in der reihe oder zwei hochkarätern kann man
- den wert dieser reihe ausrechnen mit der formel hier aber nur dann wenn diese zahl hier drin dieses kuh wenn das betragsmäßig kleiner als eins ist also
- ein halb ist er kleiner als eins dann gilt diese formel 2 ist nicht kleiner als 1 wegen will die formel 1 nicht gelten die geometrische reihe
- konvergiert nur dann wenn die zahl hier eben kleiner als 1 ansonsten wenn sie größer sein dass die welt sie so dann gehen wir jetzt mal an die aufgaben
- damit kann hier rechts steht die formel wieder die ganze zeit für uns wir versuchen diese reihe jetzt in diese kuh hochkar form zu bringen also eine zahl
- hoch wie die hier nämlich momentan noch steht ist das ja direkt schon mal das zum zeichen versaut das klappt mal und es glaub mal nicht gleich null bis
- unendlich hier steht momentan 1 durch drei hoch karte nicht eine zahl hoch kann das müssen aber hinkriegen
- und das kriegen wir auch hin denn zum beispiel die einst kann man ja auch als einst hoch k schreiben und dann kann man diese 1 durch drei zusammenbringen und
- das ganze dann hochkar schreiben und genau das ist ja das was wir wollten wir brauchen eine zahl hoch k jetzt in dem fall und das haben wir jetzt und da
- diese zahl hier drin kleiner als eins ist dürfen wir diese formel benutzen 1 durch 1 - das q und das kuh ist ein drittel bei uns und wenn ihr das aus
- rechnet kommt man auf drei halbe ganz wichtig nach schaut euch immer auch eure grenzen heran hier steht karl gleich null ist
- unendlich und dieses jahr gleich null ist auch so eine formel wenn dakar gleich eins steht da muss man doch mal ein bisschen was anderes machen
- das sehen aber gleich nach ok gehen wir zum zweiten beispiel fünf hoch - es ist jetzt keine standard geometrische reihe in der form wie sie da steht denn da
- darf er nur hoch entstehen eine zahl hoch hier steht momentan noch hoch - n wie kriegen wir das minus lag diesmal heißt unser index auch n und nicht mehr
- kam aber egal wie der heißt fünf hoch - in können wir umschreiben das ist eine negative hoch zahl wenn wir die weg machen wollen dürfen wir es tun
- indem wir 1 durch und jetzt schreiben wir das teil nur noch mit der positiven hochsal in fünf wochen das ist eher die regel wie man negative
- buch sei neben umschreiben kann so einem bruch und das hat ein leben schon das ist nämlich jetzt sehr ähnlich aus wie eine geometrische reihe noch nicht ganz
- aber wir wissen wir können hier dieses hoch n dazu machen und daraus eben ein fünftel hoch n machen und jetzt startet unsere reihe bei null so wie hier
- dieses hier drin ist kleiner als 1 deswegen dürfen wir diese summe ausrechnen oder diese reihe ausrechnen mit der formel 1 durch 1 - und für das
- kku setzen wir hier jetzt ein fünftel ein und wenn wir das hier ausrechnen kommt man auf 5 viertel also immer eure reihe
- anpassen bis sie tatsächlich die form einer geometrischen reihe hat schauen wir mal wie wird es hier hinkriegen der index ist statisch bei null das ist
- schon mal okay das passt mit unserer geometrischen reihe aber hier steht noch sehr viel zeug hoch steht
- hier oben und hier unten steht hoch die plus1 also noch dürfen wir die sachen nicht zusammenfassen lassen wir die - zweimal oben stehen und was können wir
- unten machen wir hätten gern nur hoch damit wir das mit dem oberen auch zusammenfassen können diese hoch zahl hier können wir
- auseinander ziehen die ist mit einem plus verbunden bedeutet für uns laut impotenz gesetz dass man die auseinanderziehen darf man darf hier
- drei hoch draus machen mal drei hoch 1 so ist ja dass potenz gesetz ok jetzt haben wir dieses hoch wie schon mal diese drei hier also 31 kann man ja auch
- einfach als drei schreiben diese drei oder ein rätsel was wir hier haben die können wir mal einzeln schreiben also diese ein drittel sich
- mal hier aus dem bruch vorne und machen eigenen bruch und die - zwei hoch und die drei hoch die schreibe ich hier dann hinten hin
- und jetzt ist es schon sehr ähnlich zu dem was wir eben hatten wenn ein teil ein faktor gar nicht von ihm abhängt also dieses ein drittel dann
- darf ich den auch vor die summe schreiben der hat ja gar nichts mit dem ihm in diesem index ihr zu tun den kann ich aus der summe rausziehen
- also ein drittel mal und dann die summe schreiben und den teil hier kann ich jetzt zu - zwei drittel zusammenfassen und dann insgesamt hoch und jetzt habe
- ich hier meine geometrische reihe gebastelt die ein drittel bleibt vorne dran stehen die hat er jetzt erstmal mit der summe nichts zu tun und diese reihe
- hier kann ich mit der formel umschreiben zu eins durch 1 - und mein co betragsmäßig ist es kleiner als eins immer noch kurz mal prüfen ob das alles
- so passt das kommt dann hier hinten dran also - zwei drittel und das kann man dann ausrechnen und da
- kommt insgesamt dann ein fünftel raus also auch hier ist es eine geometrische reihe sieht man auch anfangen man nicht aber ein bisschen umformen und dann kann
- man das eben sehen dann kommen wir nun zur letzten und schwierigsten aufgabe es sieht schon sehr ähnlich nach der geometrischen reihe aus aber was ist
- hier jetzt los erstens mal haben wir hier kam - zwei drin also die hochsal heißt nicht gar so wie wir es bräuchten und unser index startet bei k gleich
- vier er muss bei uns aber bei k gleich null starten kümmern wir uns erst mal darum dass hier nicht kam - zwei steht sondern hoch k
- wie schaffen wir das schreibst man direkt hin also hoch karten nur noch das wollen wir stehen haben und es können wir auch machen indem wir eine index
- verschiebung machen also hier diesen index oben hat es zwar immer noch bis unendlich aber hier unten können wir das verschieben so zu sagen wir wollen hier
- zwei dazurechnen also kam - zwei wollen wir +2 dazu rechnen damit er nur noch steht wenn wir also +2 in unserer summe
- rechnen dann müssen wir - zwei außerhalb von unserer summe rechnen gleich zwei ab da würde unsere summe dann starten
- also wir haben hier drin +2 gerechnet sozusagen um das aufzuheben dann damit wir den wert der summe nicht ändern müssen wir auch außerhalb der
- summe zweier untergehen so kann man diesen index eben verschieben wir haben jetzt noch gar nichts abgeändert einfach nur dass dieses kam - zwei nicht mehr da
- ist haben wir geschrieben dafür aber wie gesagt hier den index verringert und jetzt sehen wir dass das schon wieder genau die struktur hat die wir eben
- hatten dass sie daraus eben ein drittel hoch k schreiben können jetzt sind wir aber noch nicht fertig denn unser index startet bei 2 und das
- geht noch nicht der muss er bei null starten damit und wir unsere formel hier anwenden können wenn wir den jetzt aber bei null starten lassen machen wir das
- mal dass wir das so rein schreiben so der start bei null jetzt haben wir aber summen glieder hinzugefügt die müssen wir wieder
- abziehen also wir müssen jetzt zwei summen glieder abziehen und zwar den für null also ein drittel hoch 0 müssen wir noch
- mal abziehen weil wir dürfen ja nicht einfach dazu hinzufügen und den für 1 müssen wir absehen das würde bedeuten ein drittel hoch 1 müssen wir auch noch
- mal abziehen damit wir wollten ja eigentlich nur diese summe hier berechnen und jetzt haben wir sie einmal das wäre
- die geometrische reihe hier anwenden können das wäre 1 durch ein drittel und die anderen teile die müssen wir einfach noch abziehen ein drittel hoch 0 ist
- eins also irgendwas hoch nummer eins und hier hinten noch dieses - ein drittel und wenn ihr das dann aus rechnet kommt man insgesamt auf ein sechster also kann
- echt einiges vorkommen dass man tatsächlich diese formel hier anwenden kann aber das sind so die gängigen sachen die vorkommen können dann hoffe
- ich dass es euch geholfen hat falls ihr fragen habt meldet euch gerne in den kommentaren
Zum Nachlesen
IndexverschiebungMit Indexverschiebung oder Indexshift bezeichnet man bei Summen oder Reihen die Substitution des Summationsindex durch Addition einer ganzen Zahl.
Geometrische ReiheEine geometrische Reihe ist die Reihe ∑ k = 0 ∞ a k {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}} {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\ …
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