Reihe (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Reihe ist in der Analysis eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Sie wird meist in der Form a_0+a_1+a_2+\cdots oder \sum_{n=0}^{\infty} a_n geschrieben. Wichtig ist dabei nicht nur die formale Schreibweise, sondern vor allem die Frage, ob der Ausdruck einen wohldefinierten Wert besitzt.

Streng definiert wird eine Reihe über ihre Partialsummen. Zu einer reellen oder komplexen Folge (a_j)_{j\in\mathbb N_0} bildet man s_n:=a_0+a_1+\dotsb+a_n. Die Folge (s_n) heißt Reihe. Falls die Partialsummenfolge gegen einen Grenzwert konvergiert, heißt dieser Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe und wird ebenfalls mit \sum_{n=0}^{\infty}a_n bezeichnet. Konvergiert sie nicht, heißt die Reihe divergent.

Anschaulich bedeutet Konvergenz: Die Partialsummen kommen einem festen Wert beliebig nahe. Formal heißt sum_{k=0}^{\infty}a_k konvergent gegen S, wenn es zu jedem \varepsilon>0 einen Index N(\varepsilon) gibt, sodass für alle größeren Indizes N gilt: |a_0+a_1+\cdots+a_N-S|<\varepsilon. Das Cauchy-Kriterium kommt ohne bekannten Grenzwert aus: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn zu jedem \varepsilon>0 ein Index existiert, ab dem alle endlichen Reststücke |a_N+a_{N+1}+\cdots+a_M|<\varepsilon sind.

Aus der Konvergenz einer Reihe folgt immer, dass ihre Summanden eine Nullfolge bilden, also a_n\to0. Die Umkehrung gilt nicht: Die harmonische Reihe 1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 gehen. Auch Divergenz bedeutet nicht automatisch, dass die Partialsummen unbeschränkt sind; die Reihe 1-1+1-1+\cdots divergiert, obwohl ihre Partialsummen nur zwischen 1 und 0 wechseln.

Konvergenzarten und Rechenregeln

Eine konvergente Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe der Beträge \sum_{k=0}^{\infty}|a_k| konvergiert. Absolute Konvergenz ist besonders stabil, weil Vorzeichenwechsel keine wesentliche Rolle mehr spielen. Eine Reihe kann aber auch nur bedingt konvergieren: Dann konvergiert \sum a_k, aber \sum |a_k| nicht. Ein wichtiges Beispiel ist die alternierende harmonische Reihe 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots, während die harmonische Reihe ohne Vorzeichenwechsel divergiert.

Absolute Konvergenz erleichtert das Rechnen mit Reihen. Absolut konvergente Reihen dürfen beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Grenzwert ändert. Bei bedingt konvergenten Reihen ist das nicht sicher: Der Riemannsche Umordnungssatz besagt, dass man bei einer bedingt konvergenten Reihe reeller Zahlen durch geeignete Umordnung jede reelle Zahl als Grenzwert und auch Divergenz erreichen kann.

Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und mit festen Faktoren multipliziert werden: \sum(a_j\pm b_j)=\sum a_j\pm\sum b_j und \sum Aa_j=A\sum a_j. Produkte von Reihen sind vorsichtiger zu behandeln. Für absolut konvergente Reihen ist das gliedweise Produkt wieder absolut konvergent, und der Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte. Häufig verwendet man dafür das Cauchyprodukt mit c_n=\sum_{m=0}^{n}a_m b_{n-m}. Der Satz von Mertens erlaubt das Cauchyprodukt auch dann, wenn mindestens eine der beiden Reihen absolut konvergiert.

Auch Klammern sind nicht harmlos. In einer konvergenten Reihe darf man Glieder durch Klammern zusammenfassen, ohne den Wert zu ändern. Bei divergenten Reihen kann Klammerung den Eindruck von Konvergenz erzeugen, etwa bei (1-1)+(1-1)+\cdots=0, obwohl 1-1+1-1+\cdots selbst divergiert.

Wichtige Beispiele und Anwendungen

Viele bekannte Zahlen und Funktionen lassen sich durch Reihen darstellen. Dezimaldarstellungen sind einfache Beispiele: \frac13=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\cdots und \pi=3+0{,}1+0{,}04+0{,}001+\cdots. Das klassische Beispiel \frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1 zeigt, wie unendlich viele positive Summanden eine endliche Summe haben können.

Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird im Artikel als anschauliche Anwendung erklärt. Achilles ist hundertmal schneller und die Schildkröte hat 100 Meter Vorsprung. Die Zeitabschnitte, in denen Achilles den jeweils neuen Vorsprung einholt, bilden die Reihe 1+\frac1{100}+\frac1{10000}+\frac1{1000000}+\cdots=1{,}010101\ldots=\frac{100}{99}<\infty. Dadurch wird verständlich, warum unendlich viele Zwischenschritte dennoch in endlicher Zeit abgeschlossen sein können.

In der Analysis dienen Reihen zur Annäherung komplizierter Funktionen. Die Exponentialfunktion besitzt die Taylorreihe e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots. Für den Sinus gilt \sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}. Für x=1 ergibt die Näherung 1-\frac16+\frac1{120}-\frac1{5040}\approx0{,}8414682, während \sin(1)=0{,}84147098\ldots.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt die Reihe \frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots=1 die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass bei wiederholtem Werfen einer fairen Münze irgendwann erstmals Kopf fällt. Bei einem Glücksspiel, das für die Anzahl vorheriger Zahl-Würfe auszahlt, aber 2 Euro Einsatz verlangt, entsteht der Erwartungswert (-2)+(0/2+1/4+2/8+3/16+\cdots)=-1; langfristig verliert man durchschnittlich 1 Euro pro Runde.

Funktionenreihen und Reihenentwicklungen

Bei Funktionenreihen werden nicht Zahlen, sondern Funktionen addiert: f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x). Jede Funktion f_n muss an den betrachteten Stellen definiert sein, und im Zielbereich muss Addition sinnvoll sein. Eine zentrale Frage lautet: Wenn alle f_n stetig, differenzierbar oder integrierbar sind, hat dann auch die Grenzfunktion diese Eigenschaft?

Ein besonders wichtiger Begriff ist die gleichmäßige Konvergenz. Liegt sie auf einem Gebiet [a,b] vor, darf man Reihen gliedweise integrieren: \int_{t_0}^{t}\sum f_n(x)\,dx=\sum\int_{t_0}^{t}f_n(x)\,dx. Gliedweises Differenzieren ist erlaubt, wenn die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert. Allgemeinere Sätze, etwa der Satz von der majorisierten Konvergenz, erlauben unter anderen Voraussetzungen ebenfalls das Vertauschen von Summe und Integral.

Potenzreihen und Taylorreihen sind zentrale Funktionenreihen. Eine Taylorreihe um x_0 hat die Form f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, sofern x nahe genug bei x_0 liegt. Der zulässige Abstand wird durch den Konvergenzradius R beschrieben. Für x_0=0 spricht man auch von einer Maclaurinschen Reihe. Als Beispiel wird \sqrt{x} um 25 angenähert: \sqrt{x}\approx5+\frac1{10}(x-25)-\frac1{1000}(x-25)^2, daher \sqrt{26}\approx5{,}099, während \sqrt{26}=5{,}0990195\ldots.

Fourierreihen entwickeln periodische Funktionen nach Sinus- und Kosinusfunktionen beziehungsweise komplexen Exponentialfunktionen. Für eine 1-periodische integrierbare Funktion werden Fourierkoeffizienten durch a_n=\int_0^1 f(x)e^{-2\pi inx}\,dx definiert, und formal gilt f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n e^{2\pi inx}. Sie sind wichtig für Signale, Wellen und Klangüberlagerungen. Dirichletreihen haben die Form F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} und spielen besonders in der Zahlentheorie eine Rolle, etwa bei der Riemannschen Zeta-Funktion \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}=\prod_p\frac1{1-p^{-s}} für \sigma>1.

Konvergenzkriterien und Grenzwerte

Da es kein allgemein brauchbares Verfahren gibt, um Konvergenz oder den Grenzwert jeder Reihe zu bestimmen, verwendet man spezielle Kriterien. Das Nullfolgenkriterium zeigt Divergenz, wenn a_n nicht gegen 0 geht. Teleskopreihen der Form \sum_{n=1}^{\infty}(b_n-b_{n+1}) konvergieren genau dann, wenn b_n\to L, und haben dann den Wert b_1-L; etwa \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=1.

Das Majorantenkriterium vergleicht eine Reihe mit einer größeren konvergenten Reihe und zeigt absolute Konvergenz; das Minorantenkriterium vergleicht mit einer kleineren divergenten Reihe und zeigt Divergenz. Das Quotientenkriterium betrachtet \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: Ist der Limes superior kleiner als 1, konvergiert die Reihe absolut; ist der Limes inferior größer als 1, divergiert sie. Das Wurzelkriterium verwendet \alpha=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}: Bei \alpha<1 liegt absolute Konvergenz vor, bei \alpha>1 Divergenz, bei \alpha=1 keine allgemeine Aussage.

Unter Monotoniebedingungen gibt es weitere Kriterien. Beim Integralkriterium konvergiert \sum a_n für eine monoton fallende Funktion f mit f(n)=a_n genau dann, wenn \int_1^{\infty}f(x)\,dx existiert. Daraus folgt: \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^r} konvergiert für r>1 und divergiert für r\le1. Das Leibniz-Kriterium besagt, dass \sum(-1)^n a_n konvergiert, wenn a_n\ge0 monoton gegen 0 fällt.

Für Grenzwerte helfen unter anderem Teleskopieren, Potenzreihen, Integration, Fourieranalysis und der Abelsche Grenzwertsatz. Aus \arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} folgt bei x=1 die Leibniz-Reihe 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4. Aus \log(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} folgt 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\log(2).

Spezielle Reihen, Geschichte und Bedeutung

Die geometrische Reihe ist eine der wichtigsten speziellen Reihen. Für q\ne1 gilt \sum_{n=0}^{N}q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}, und für |q|<1 folgt \sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}. Die harmonische Reihe \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n divergiert logarithmisch; sie zeigt, dass Summanden, die gegen 0 gehen, nicht ausreichen. Verdünnte Varianten führen zu tieferen zahlentheoretischen Fragen, etwa zu Primzahlen und Primzahlzwillingen.

Reihen liefern Darstellungen wichtiger Konstanten. Für \pi gibt es die Leibniz-Reihe \pi=4-\frac43+\frac45-\frac47+\cdots, Eulers Lösung des Basler Problems \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}, Ramanujans schnell konvergierende Formel für 1/\pi und die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel \pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{16^n}\left(\frac4{8n+1}-\frac2{8n+4}-\frac1{8n+5}-\frac1{8n+6}\right). Für die Eulersche Zahl gilt e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}=1+1+\frac12+\frac16+\cdots. Weitere Beispiele betreffen \sqrt2, die Apéry-Konstante \zeta(3) und die Euler-Mascheroni-Konstante \gamma.

Historisch wurden Reihen ab dem 17. Jahrhundert wichtig, besonders bei geometrischen Problemen, Quadratur, Kurvenlängen und der Entstehung der Infinitesimalrechnung. Newton entwickelte Reihenmethoden, unter anderem die allgemeine Binomialreihe (1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^k für |x|<1, und Leibniz untersuchte unter anderem 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4. Im 18. Jahrhundert systematisierten Taylor, Maclaurin und besonders Euler die Theorie, oft noch mit formalem Umgang auch bei divergenten Reihen. Im 19. Jahrhundert legte Cauchy 1821 die Grundlage der strengen, quantitativen Theorie; später arbeiteten unter anderem Weierstraß, Riemann und Abel zentrale Begriffe wie Potenzreihen, absolute Konvergenz und Umordnung aus. Im 20. Jahrhundert wurden divergente Reihen über Limitierungsverfahren, Taubersätze, Fourierreihen, formale Potenzreihen und zahlentheoretische Anwendungen weiterentwickelt. Bis heute bleiben Reihen wichtig, etwa in der Analysis, Signalverarbeitung, Finanzmathematik, Wahrscheinlichkeitstheorie und analytischen Zahlentheorie.