Quader

Aufbau und Einordnung

Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der von 6 Rechtecken begrenzt wird. Seine 6 rechteckigen Seitenflächen stehen jeweils im rechten Winkel aufeinander. Er besitzt 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten. Jeweils vier Kanten haben die gleiche Länge und sind zueinander parallel. Gegenüberliegende Flächen sind parallel und kongruent, also deckungsgleich. Damit ist der Quader ein rechtwinkliges dreidimensionales Parallelepiped.

Die drei verschiedenen Kantenlängen werden meist mit a, b und c bezeichnet. Sind alle drei gleich, a = b = c, sind alle Flächen Quadrate; der Quader ist dann ein Würfel. Sind genau zwei Kantenlängen gleich, etwa a = b ≠ c, handelt es sich um ein quadratisches gerades Prisma. Für a = b > c spricht man gelegentlich von einer quadratischen Platte, für a = b < c von einer quadratischen Säule.

Symmetrie

Die Symmetrie hängt davon ab, wie viele Kantenlängen gleich sind.

Ein Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen besitzt 3 zweizählige Drehachsen durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen, 3 Spiegelebenen durch jeweils vier Kantenmittelpunkte und 3 Drehspiegelungen. Diese Drehspiegelungen bestehen aus einer Drehung um 180° zusammen mit den Ebenen durch vier Kantenmittelpunkte.

Ein Quader mit zwei verschiedenen Kantenlängen, also ein quadratisches gerades Prisma, besitzt 1 vierzählige Drehachse durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Quadrate, 2 zweizählige Drehachsen durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Rechtecke sowie 3 Drehspiegelungen um 180°. Würfel haben wegen ihrer 12 gleich langen Kanten noch mehr Symmetrien. Jeder Quader ist außerdem punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt M.

Wichtige Formeln

Für einen Quader mit den Kantenlängen a, b und c gelten:

• Volumen: V = a · b · c.
• Mantelfläche: A_M = 2 · (a + b) · c.
• Oberflächeninhalt: A_O = 2 · (a · b + a · c + b · c).
• Raumdiagonale: d = √(a² + b² + c²).
• Umkugelradius: r_u = d/2 = ½ · √(a² + b² + c²).
• Flächendiagonalen: d_a = √(b² + c²), d_b = √(c² + a²) und d_c = √(a² + b²).

Das Verhältnis des Quader-Volumens zum Volumen seiner Umkugel ist V/V_UK = 6 · a · b · c / [π · (a² + b² + c²)^(3/2)]. Der Raumwinkel in den Ecken beträgt Ω = π/2 sr ≈ 1,5708 sr.

Optimierung und Netze

Bei den im Artikel genannten Optimierungsproblemen ist jeweils der Würfel die Lösung. Das gilt für folgende Bedingungen und Ziele:

• Bei gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Umkugelvolumen: maximaler Oberflächeninhalt oder maximales Volumen.
• Bei gegebenem Oberflächeninhalt: minimale Diagonalenlänge, minimales Umkugelvolumen oder maximales Volumen.
• Bei gegebenem Volumen: minimale Diagonalenlänge, minimales Umkugelvolumen oder minimaler Oberflächeninhalt.

Jeweils zwei der sechs genannten Probleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit vertauschten gegebenen Größen; daher gibt es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme. Der Würfel ist jedoch nicht bei allen denkbaren Optimierungsproblemen die Lösung.

Für die Gleichwertigkeit von Vorgaben durch Raumdiagonale d und Umkugelvolumen gilt V_UK = 4/3 · π · r_u³ = 1/6 · π · d³. Das Umkugelvolumen ist somit eine stetige und streng monoton steigende Funktion von d.

Ein Beweis für das maximale Volumen bei gegebenem Umkugelradius verwendet die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel: √(a · b) ≤ (a + b)/2. Hat ein Quader mit a ≠ b und c > 0 den Umkugelradius ½ · √(a² + b² + c²), kann man a und b durch zwei gleiche Kanten ½ · √(2 · a² + 2 · b²) ersetzen. Der neue Quader besitzt denselben Umkugelradius, aber das Volumen (a² + b²)c/2 ist wegen a · b < (a² + b²)/2 größer als a · b · c. Ein Quader mit mindestens zwei verschiedenen Kanten kann deshalb kein maximales Volumen haben; übrig bleibt der Würfel. Dabei wird vorausgesetzt, dass das Volumen endlich und die Volumenfunktion stetig ist.

Ein allgemeiner Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen besitzt 54 Netze, die nicht durch Kongruenzabbildungen aufeinander abbildbar sind. Das sind Anordnungen der 6 rechteckigen Flächen, die durch Aufschneiden von 7 Kanten in der Ebene ausgebreitet werden; die übrigen 5 Kanten verbinden die Flächen. Quadratische gerade Prismen haben 29 Netze, Würfel 11 Netze. Für eine Färbung ohne gleichfarbige benachbarte Flächen sind mindestens 3 Farben erforderlich.

Verallgemeinerung und Quadergitter

Quader lassen sich auf beliebige Dimensionen n verallgemeinern. Diese Körper heißen n-dimensionale Quader, Hyperrechtecke oder Hyperquader. Ein n-dimensionaler Quader besitzt 2^(n−k) · (n über k) begrenzende Seiten der Dimension k.

Spezialfälle sind: Der nulldimensionale Quader, also ein Punkt, hat 1 Ecke; eine Strecke als eindimensionaler Quader hat 2 Ecken; ein Rechteck als zweidimensionaler Quader hat 4 Ecken und 4 Kanten. Ein vierdimensionaler Quader besitzt 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Rechtecke als Seitenflächen und 8 dreidimensionale Quader als Facetten. Allgemein gibt es 2^n Ecken, n · 2^(n−1) Kanten, n · (n−1) · 2^(n−3) rechteckige Flächen, 1/3 · n · (n−1) · (n−2) · 2^(n−4) dreidimensionale Quader als Volumen und 2 · n Facetten der Dimension n−1.

Ein Quadergitter ist eine Anordnung unendlich vieler Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum. Es lässt sich als {(a · x₁, b · x₂, c · x₃) ∈ ℝ³ | a,b,c > 0 und x₁,x₂,x₃ ∈ ℤ} schreiben. Die positiven reellen Zahlen a, b und c sind die Abstände benachbarter Punkte. Das Gitter entsteht aus dem Würfelgitter durch drei Parallelstreckungen.

Das Würfelgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationssymmetrisch für Vektoren mit ganzzahligen Vielfachen der drei Achsenrichtungen, nämlich a · a₁ · e⃗₁, b · a₂ · e⃗₂ und c · a₃ · e⃗₃, wobei a₁, a₂ und a₃ ganze Zahlen und e₁, e₂ und e₃ die Einheitsvektoren sind. Durch Ebenen im Abstand a, b beziehungsweise c, die orthogonal zu den drei Koordinatenachsen verlaufen, entsteht ein Flächengitter mit quaderförmigen Hohlräumen. Eine vollständige Ausfüllung des Raumes ergibt eine dreidimensionale Parkettierung aus kongruenten Quadern. Parallelstreckungen können je nach Körper und Ausrichtung unter anderem Würfel in Quader oder Parallelepipede, quadratische Prismen in Quader oder Parallelepipede, regelmäßige Tetraeder in Tetraeder und Kugeln in Ellipsoide überführen.

Ganzzahlige Diagonalen und Anwendungen

Ein Euler-Ziegel ist ein Quader, bei dem die Kantenlängen und alle Flächendiagonalen ganzzahlig sind. Die Kantenlängen a, b und c sowie die Flächendiagonalen d, e und f erfüllen das System a² + b² = d², a² + c² = e² und b² + c² = f². Die drei zugehörigen Dreiecke sind pythagoreische Tripel. Ein Euler-Ziegel heißt primitiv, wenn a, b und c keinen gemeinsamen Teiler haben. Ein perfekter Euler-Ziegel hätte zusätzlich eine ganzzahlige Raumdiagonale g mit a² + b² + c² = g². Bisher wurde kein perfekter Euler-Ziegel gefunden; zugleich ist nicht bewiesen, dass keiner existiert. Computergestützt wurde gezeigt, dass bei einem solchen Ziegel mindestens eine Kante größer als 3 · 10¹² sein müsste. Allgemein bilden ganzzahlige Kantenlängen a, b, c zusammen mit einer ganzzahligen Raumdiagonale g ein pythagoreisches Quadrupel.

Bei einem Domino-Spielstein mit Länge 9 cm, Breite 4,5 cm, Höhe 1 cm und mittlerer Dichte 670 kg/m³ beträgt das Volumen 40,5 cm³ und der Oberflächeninhalt 108 cm². Domino enthält 7 Steine mit gleichen Augenzahlen und (7 über 2) = 21 Steine mit verschiedenen Augenzahlen, insgesamt also 28 Steine. Das Gesamtvolumen beträgt 1134 cm³, der gesamte Oberflächeninhalt 3024 cm². Ein Stein hat die Masse 27,135 g, alle Steine zusammen 488,43 g.

Die offene Liftkabine ist 1,40 m breit, 2,00 m lang und 2,20 m hoch; ihr Volumen beträgt 6,16 m³. Bei −10 °C und einer Luftdichte von 1,3413 kg/m³ enthält sie etwa 8,262 kg Luft. Bei 20 °C und 1,2041 kg/m³ sind es etwa 7,417 kg. Bei gleich bleibendem Luftdruck von 101325 Pascal entweichen dadurch etwa 10,2 % der Luft.

Ein Schwimmbecken ist 25 m breit, 50 m lang und 2,5 m tief und zu 96 % gefüllt. Der anfängliche Wasserstand beträgt 2,4 m, das Volumen 3000 m³ und bei einer Dichte von 1,000 kg/m³ die Masse 3000 kg. Wenn sich das Wasser auf 40 °C erwärmt, 60 % verdunstet und die Dichte auf 0,996 kg/m³ sinkt, bleiben 1200 kg und ungefähr 1204,8 m³ Wasser übrig. Der Wasserstand sinkt dadurch auf etwa 0,964 m.