Gemeinlot

Begriff und Bedeutung

Das Gemeinlot zweier Geraden ist eine Gerade oder Strecke, die auf beiden Geraden senkrecht steht. Es schneidet also beide Geraden jeweils im rechten Winkel.

Bei zwei parallelen Geraden gibt es unendlich viele Gemeinlote. Sie gehen durch Verschiebung in Richtung der beiden Geraden auseinander hervor und besitzen alle dieselbe Länge. Diese Länge entspricht dem Abstand der beiden Geraden.

Bei zwei windschiefen Geraden, die weder parallel sind noch einander schneiden, ist das Gemeinlot eindeutig bestimmt. Als Strecke betrachtet ist es die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den Geraden. Seine Länge definiert ihren Abstand.

Bestimmung mit Hilfsebenen

Im dreidimensionalen Raum seien die Geraden durch

g: x⃗ = a⃗ + λv⃗ und h: x⃗ = b⃗ + μw⃗

gegeben. Die Lotfußpunkte F_g und F_h sind die Schnittpunkte des Gemeinlots mit g beziehungsweise h. Sie legen das Gemeinlot fest.

Zur Bestimmung von F_h wird eine Hilfsebene E verwendet. Sie enthält den durch a⃗ beschriebenen Punkt A und wird von v⃗ sowie einem gemeinsamen Normalenvektor n⃗ der beiden Geradenrichtungen aufgespannt. Ein möglicher Normalenvektor ist das Kreuzprodukt n⃗ = v⃗ × w⃗. Damit gilt:

E: x⃗ = a⃗ + λv⃗ + νn⃗.

Der Schnittpunkt von E und h ist F_h. Deshalb löst man die Vektorgleichung

a⃗ + λv⃗ + νn⃗ = b⃗ + μw⃗

nach λ, μ und ν. Sie entspricht einem linearen Gleichungssystem. Setzt man die gefundene Lösung für μ in die Gleichung von h ein, erhält man den Ortsvektor von F_h.

Analog ist F_g der Schnittpunkt von g mit der Ebene

E′: x⃗ = b⃗ + μw⃗ + νn⃗.

Berechnung durch Skalarprodukte

Die Parameterwerte der Lotfußpunkte lassen sich auch mithilfe von Skalarprodukten ausdrücklich bestimmen. Der Artikel führt dazu den Vektor

n⃗₁ = v⃗ × (v⃗ × w⃗)

ein und multipliziert die Vektorgleichung beidseitig skalar mit diesem Vektor. Als Ergebnis wird für den Parameter μ angegeben:

μ = (a⃗ · n⃗₂ − b⃗ · n⃗₂)/(w⃗ · n⃗₂).

Dabei verwendet der Artikel in der Herleitung außerdem die Beziehungen v⃗ · n⃗₂ = 0 und n⃗ · n⃗₂ = 0. Die Bezeichnungen n⃗₁ und n⃗₂ wechseln an dieser Stelle im Ausgangstext.

Für λ wird analog vorgegangen: Man verwendet die Vektorgleichung für F_g und multipliziert sie skalar mit

n⃗₂ = w⃗ × (v⃗ × w⃗).

Anschließend wird nach λ aufgelöst. Eine fertige Formel für λ ist im vorliegenden Artikeltext nicht mehr angegeben.