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Abstand windschiefer Geraden - Lösung mit Hilfsebene, schneller Lösungsweg
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Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- im diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man den abstand wien schiefer geraten mit hilfe einer hebamme bestimmen kann
- das ist einer der drei wichtigsten lösungsansätze für dieses problem und zwar einer der schnellsten tutorials zu den anderen lösungswege findet ihr am
- ende im abspann bevor wir uns das ganze schrittweise anhand einer beispiel aufgabe anschauen werden will ich zuerst diesen lösungsansatz anhand einer
- planskizze kurz erläutern wir haben also zwei winziger geraten hier schematisch dargestellt mit g und h bei diesen lösungsansatz tut man einer
- dieser geraten zbh in eine ebene ist so dass die andere gerade g parallel zu dieser ebene liegt weil die gerade ge und die ebene parallel zueinander sind
- heißt das indirekt dass überall die gleiche abstand herrscht und weil h in der ebene e liegt wird der abstand zwischen gdi denn die seien mit dem
- abstand der windschiefen geraten also müssen wir praktisch nur den abstand zwischen der geraden ge und der ebene ausrechnen
- und das kriegen wir sehr einfach hin indem wir einfach ein punkt von geh wählen zum beispiel den stützpunkt und von diesem punkt aus den abstand zu der
- ebene ausrichten beispielweise mit der hessische normalform das wäre dann der kürzeste lösungsweg ist ja klar dass für den einen oder anderen von euch dieser
- kurze wegbeschreibung zu kurz war deshalb schaut durch gleich die beispiel aufgabe an ich glaube spitzen dann hat sich die sache
- und hier ist unser beispiel aufgabe wir haben dann zwei villen schäfer geraden g und h und wir möchten den abstand dieser windschiefen gerade bestimmen
- für besseren verständnis werde ich noch für die einzelnen schritte dieser planskizze benutzen die wir bereits angeschaut haben
- und für den fall dass ihr euch erinnert wir haben ja gesagt als er ist das brauchen wir dieser hilfs ebene und dann haben die planskizze haben wir
- entschieden dass die gerade h in dieser ebene liegt das wäre ja auch unser erster schritt hilft ebene aufstellen sodass h in der ebene liegt umgehe
- parallel zu ass natürlich kann man das ganze auch andersrum machen das gehen parallel zu ist aber man muss sie am besten man entscheidet sich für einen
- weg und den sieht man immer durch außerdem haben wir vorher erwähnt dass wir irgendwann man den abstand zwischen punkte und ebene e bestimmen werden und
- für ab standpunkt ebene braucht man auf jeden fall eine ebene entweder in normalen form oder koordinaten formen egal welcher dieser form wird nehmen
- oder wählen wir brauchen ein normal vector deshalb versuchen wir uns anhand dieser platz gibt es ja diese normal vector
- vorzustellen also da wird natürlich so aussehen und diese normal weg da steht natürlich orthogonal zu der ebene unten das ist ja klar sieht man auch am
- schaubild aber weil die gerade g parallel zu der ebene entsteht dann wird diese normal vector ebenfalls noch orthogonal zu der gerade sein
- das bedeutet diese normal vector steht einmal orthogonal zum richtungswechsel geraten h und gleichzeitig noch original zum richtungswechsel der geraden g
- das hilft uns ein bisschen weiter und zwar um and zu bestimmen müssen wir dann einfach nur das kreuz produkt zwischen den zwei richtungs vektoren bilden also
- das sind die richtung sektoren der geraden g und h ohne skript oder weg der produkt zwischen diese zwei faktoren ergibt genau unseren normal vector und
- das ist auch unser erster schritt also zuerst als ansatz ihn ist dann das produkt zwischen den erste richtung sektor der vg und der richtungswechsel
- geraten haben 2011 bei diesen kreuz oder vector produkt gibt es mehrere möglichkeiten ist auszurechnen ich werde jetzt so die klassische
- benutzen wo man diese zwei faktoren zwei mal untereinander schreibt und das ganze dann über kreuz miteinander multipliziert könnte auch die formel
- nehmen oder andere eselsbrücken was auch immer ihren unterricht gelernt habt also jede vector wird zwei mal untereinander geschrieben 20
- - 1 nochmal 20 - 1 die erste und die letzte zeile wird weggestrichen und dann fangen wir an über größe multiplizieren also erstmal 1 x -1 sind - 1 dann kommt
- die minuszeichen und minus 10 danach können wir zusammen fassen - 1 x 2 sind - 24 mal - 1 sind - 4 und die letzte runde viermal nun sind 0 - 1 x 2
- sind zwei wenn wir das ganze zusammenfassend dann haben wir unsere x factor und er lautet -1 dann haben wir - zwei plus vier sind natürlich zwei und
- minus zwei und dann trage ich auch hier als ergebnis sei gut so wir wollen eine ebene aufstellen und wir haben jetzt schon ein normal vector dafür an dieser
- stelle gibt es zwei möglichkeiten entweder stellt man einen normalen form auf oder eine koordinate in form ich werde mich jetzt für eine koordinaten
- form entscheiden weil es einfach ein bisschen einfacher zu rechnen ist das heißt zur erinnerung bei eine koordinate in form sind die koordinaten
- des normal victors einfach die koeffizienten von x1 x2 und x3 das heißt die ebene sieht dann automatisch so aus - 1x1 plus 2x 2 - 2
- x3 ist gleich bbs noch unbekannte die wir jetzt noch bestimmen müssen und an dieser stelle müssen wir ein bisschen aufpassen also wir haben bis
- jetzt nur der normale vector wir müssen die ebene bestimmen wo die gerade hab mir liegt und dafür umfassendem wert für bay zu bestimmen nehmen wir den stütz
- vector von h also das hier ist der stets weg davon h das kann man auch als orts vector von einem punkt sehen ich kann ihnen auch als punkt es von stets vector
- bezeichnen und der hat die koordinaten 0 - 4 und 8 und dieser punkt wird jetzt in dieser ebene eingesetzt um passen wert für b zu bestimmen
- damit haben wir dann - 1 x 0 plus zweimal - 4 - 2 x 8 das gleiche und das ganze kann man noch zusammen fassen das ist null
- hier habe ich - 8 hinten habe ich - 16 - sagt - 16 -24 und somit haben wir auch ein passendes wert für b und können die ebenen noch mal hier an der seite sauber
- hinschreiben also die hilfs ebene die wir gebraucht haben lautet x1 plus 2x 2 - 2 x3 ist gleich - 24 und das war ja schon der schwierigste
- teil eigentlich jetzt im zweiten und letzten schritt müssen wir nur noch den abstand zwischen den punkt dazu können wir zum beispiel den stütz sektor von
- geh wählen und die ebene natürlich mit der hessischen normalen von christa mit schnellsten gut zu übersicht schreibe ich noch mal kurz die sachen hin also
- die ebene nur mal kurz von oben abgeschrieben damit wir sie gleich verwenden können - x1 +2 22 x3 ist denn gleich - 24
- und dieser punkt b beziehungsweise stütz vector von ge haben wir hier an dieser stelle dass es - 1 3 und 5 schreibe ich noch als punkte
- wir hätten an dieser stelle zwei möglichkeiten gehabt wie bereits erwähnt ich hätte jetzt auch die normale form aufstellen können ich habe mich jetzt
- für die koordinaten form entschieden das bedeutet wir brauchen auch die passende hessische normalen form zur erinnerung rechts unten die formel
- abgebildet die formal war ganz einfach zu verwenden oben im zähler wird der p&i in die ebene eingesetzt und unten nenner wird die
- länge des normal weg das bestimmt also das machen wir jetzt auch wir sagen dann einfach die den abstand bis gleich also ein zählappell einsetzung für designs x5
- x3 wir haben dann -1 klammer auf minus 1 + 2 x 3 und minus 2 x 5 und die - 24 von der rechten seite wird mit plus auf die
- andere seite gebracht und dann haben wir hier entsprechend +24 alles im betrag und das ganze durch die länge des normal vectus das heißt für uns wurzel aus
- jeder einzelne koordinate ins quadrat die summe davon die negativen vorzeichen kann man auch ignorieren und wenn wir was auch zwei
- nehmen wird sowieso alles positiv deshalb haben wir eins quadrat +2 ins quadrat plus noch mal zwei ins quadrat und jetzt fassen wir alles zusammen
- ob einen zähler minus -1 +11 6 7 und 7 - 10 10 - 3 dann am ende noch +24 also haben wir nur 21 eine positive zahl die betrag stieg
- er werden jetzt nicht mehr benötigt und unten den nenner haben wir wurzel aus neun wurde das 19 natürlich 3 und wenn wir jetzt das ganze aus rechnung haben
- wir 21 geteilt durch 3 sind natürlich 7 und das sind offiziell dann sieben lenkt einheiten und das gleichzeitig von uns gesuchte abstand zwischen dieser zwei
- binnenschiffe geraten zum schluss noch ein paar hinweise wir bereits gemerkt habt ist das relativ kurzer und schneller lösungsweg
- allerdings darf man ihnen nicht immer anwenden es hängt von der aufgabenstellung ab dieser lösungsweg ist dann anzuwenden wenn die sogenannten
- lauf punkte nicht in der aufgabenstellung verlangt oder gesucht sind dann dürfte es nehmen also wenn nur der reine abstand gesucht ist könnt ihr
- das problemlos verwenden alternativ wenn dieser lauf punkte gesucht sind muss die natürlich in längeren lösungsweg wählen
- in zusammenhang mit dieses abstands problemen gibt es noch weitere abstand und natürlich von bedeutung sind wie zb ab standpunkt ebene was wir auch hier
- zwischendurch gebraucht haben beispielsweise mit der hessischen normalen form aber auch abstand punkt gerade wenn
- bedarf tutorials zu alle dieser dem findet ihr gleich im abspann
Zum Nachlesen
WindschiefeIn der Geometrie heißen zwei Geraden (zueinander) windschief (seltener kreuzend), wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.
GemeinlotDie Länge jedes dieser Gemeinlote entspricht dann dem Abstand der beiden Geraden. Sie sie hingegen windschief zueinander, so ist das Gemeinlot eindeutig …
SchnittgeradeEine Schnittgerade ist ein Begriff der Geometrie. Zwei Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich …
Allgemeine KoordinatenformBei der allgemeinen Form wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die …