Lot (Mathematik)

Grundidee und Begriffe

Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Senkrecht bedeutet: Sie bildet mit der Geraden oder Ebene einen rechten Winkel. Für ein Lot l auf eine Gerade g oder eine Ebene E gilt also l ⟂ g bzw. l ⟂ E.

Ist das Lot eine ganze Gerade, nennt man es Lotgerade; ist nur die Verbindungsstrecke gemeint, nennt man es Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene heißt Lotfußpunkt oder Fußpunkt. Er ist l ∩ g bzw. l ∩ E. Eine Ebene, die senkrecht zu einer Geraden steht, heißt Lotebene.

Die Lotstrecke von einem Punkt auf eine Gerade oder Ebene ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt und der Geraden oder Ebene. Ihre Länge definiert den Abstand, genauer den Normalabstand, des Punkts von der Geraden oder Ebene. Besondere Beispiele für Lotgeraden oder Lotebenen sind Mittelsenkrechten zweier Punkte in der Ebene beziehungsweise im Raum.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Ein Lot kann geometrisch mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Dabei unterscheidet man zwei Fälle: Liegt der gegebene Punkt P auf der Geraden g, wird ein Lot errichtet. Liegt P außerhalb von g, wird ein Lot gefällt.

Beim Errichten eines Lots durch einen Punkt P auf g bestimmt man mit einem Kreis um P zwei Punkte auf g, die gleich weit von P entfernt sind. Anschließend zeichnet man von diesen beiden Punkten aus Kreisbögen mit größerem Radius. Ein Schnittpunkt dieser Kreisbögen liegt außerhalb von g und ist von beiden Punkten gleich weit entfernt. Die Gerade durch diesen Schnittpunkt und P ist die Lotgerade zu g durch P.

Eine alternative Konstruktion nutzt einen frei wählbaren Punkt M und einen Kreis mit Radius MP. Der Kreis schneidet g in A. Die Gerade von A durch M schneidet den Kreis erneut in P'. Die Gerade durch P und P' ist dann die Lotgerade zu g durch P. Diese Methode kann bei eingeschränkten Platzverhältnissen hilfreich sein.

Lot fällen

Beim Fällen eines Lots ist ein Punkt P außerhalb der Geraden g gegeben. Man zeichnet um P einen Kreisbogen mit hinreichend großem Radius, der g in zwei Punkten schneidet. Diese beiden Punkte haben denselben Abstand zu P. Von beiden Punkten aus zeichnet man weitere Kreisbögen mit hinreichend großem Radius. Ein Schnittpunkt dieser Kreisbögen bestimmt zusammen mit P die Lotgerade. Der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit g ist der Fußpunkt F.

Eine andere Methode besteht darin, zwei beliebige Punkte M₁ und M₂ auf g zu wählen. Um beide Punkte zeichnet man jeweils den Kreis, der durch P verläuft. Die beiden Kreise schneiden sich außer in P noch in einem weiteren Punkt P'. Die Gerade durch P und P' ist die Lotgerade durch P. Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

Berechnung in der Ebene

In der analytischen Geometrie wird das Lot mit Vektorrechnung und dem Skalarprodukt berechnet. Für einen Punkt P mit Ortsvektor p⃗ und eine Gerade g: x⃗ = a⃗ + s r⃗ in der Ebene hat die Lotgerade h durch P die Normalenform h: (x⃗ − p⃗) · r⃗ = 0. Der Richtungsvektor r⃗ der Geraden g ist dabei ein Normalenvektor der Lotgeraden h. Das Zeichen · bezeichnet das Skalarprodukt.

Der Fußpunkt F ist der Schnittpunkt von g und h. Man setzt die Parameterdarstellung von g in die Gleichung der Lotgeraden ein, löst nach s auf und setzt den Wert wieder in g ein. Es ergibt sich F: f⃗ = a⃗ + (((p⃗ − a⃗) · r⃗)/(r⃗ · r⃗)) r⃗.

Ist die Gerade g durch zwei Punkte A und B mit Ortsvektoren a⃗ und b⃗ gegeben, kann man r⃗ = b⃗ − a⃗ setzen. Ist g durch y = mx + d gegeben, dann hat die Lotgerade durch P = (x₀, y₀) die Gleichung y = −1/m (x − x₀) + y₀. Alternativ kann man A = (0, d) und r⃗ = (1, m) verwenden. Ist g durch ax + by = d oder in Normalenform x⃗ · n⃗ = d mit n⃗ = (a, b) gegeben, kann man r⃗ = (−b, a) setzen und für A einen Achsenschnittpunkt wählen.

Berechnung im Raum

Im Raum unterscheidet man besonders die Fälle Punkt und Gerade sowie Punkt und Ebene. Für einen Punkt P mit Ortsvektor p⃗ und eine Gerade g: x⃗ = a⃗ + s r⃗ beschreibt die Gleichung λ: (x⃗ − p⃗) · r⃗ = 0 die Lotebene durch P, die senkrecht auf g steht.

Der Schnittpunkt dieser Lotebene mit g ist der Fußpunkt F. Im Artikel wird dafür angegeben: F: f⃗ = a⃗ + (((a⃗ − p⃗) · r⃗)/(r⃗ · r⃗)) r⃗. Die Gerade durch P und F schneidet g in F senkrecht. Deshalb ist h: x⃗ = p⃗ + t(f⃗ − p⃗) die Lotgerade von P auf g.

Für einen Punkt P mit Ortsvektor p⃗ und eine Ebene ε: x⃗ · n⃗ = d ist die Lotgerade h: x⃗ = p⃗ + s n⃗. Der Vektor n⃗ ist der Normalenvektor der Ebene. Für den Fußpunkt setzt man die Lotgerade in die Ebenengleichung ein, löst nach s auf und setzt das Ergebnis wieder in die Lotgleichung ein. Es ergibt sich F: f⃗ = p⃗ + ((d − p⃗ · n⃗)/(n⃗ · n⃗)) n⃗. Ist die Ebene in der Form x⃗ = a⃗ + s u⃗ + t v⃗ gegeben, kann man n⃗ = u⃗ × v⃗ setzen.