Windschiefe

Definition und Bedeutung

In der Geometrie heißen zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Windschiefe Geraden können nur in Räumen mit mindestens drei Dimensionen vorkommen. Im zweidimensionalen Raum liegen alle Geraden in derselben Ebene; dort schneiden sie sich entweder oder sind parallel.

Windschiefe Geraden nachweisen

Für zwei Geraden g und h gibt es mehrere gleichwertige Nachweise:

• Man zeigt direkt, dass die Geraden nicht parallel sind und sich außerdem nicht schneiden.
• Man zeigt, dass ein Richtungsvektor von g, ein Richtungsvektor von h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g zu einem Punkt auf h linear unabhängig sind.
• Man zeigt, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Abstand und Berechnungsformeln

Das Gemeinlot zweier Geraden g und h ist die eindeutig bestimmte Strecke, die im rechten Winkel zu beiden Geraden steht. Es ist die kürzeste Verbindungsstrecke; ihre Länge definiert den Abstand d(g,h).

Für die Geraden mit Stützpunkten A und B, Stützvektoren a⃗ = ⃗OA und b⃗ = ⃗OB sowie Richtungsvektoren v⃗ und w⃗ gelten die Parameterformen

g: x⃗ = a⃗ + r v⃗,

h: x⃗ = b⃗ + s w⃗, r,s ∈ ℝ.

Dabei gilt a⃗,b⃗,v⃗,w⃗ ∈ ℝ³, und die drei Vektoren a⃗ − b⃗, v⃗ und w⃗ sind linear unabhängig.

Ein Einheitsvektor n⃗₀, der senkrecht auf v⃗ und w⃗ steht und damit in Richtung des Gemeinlots zeigt, liefert

d(g,h) = |(a⃗ − b⃗) · n⃗₀|.

Man erhält n⃗₀ durch das Kreuzprodukt v⃗ × w⃗ und anschließende Normierung. Daraus folgt

d(g,h) = |(a⃗ − b⃗) · (v⃗ × w⃗)| / |v⃗ × w⃗|.

Das Skalarprodukt (a⃗ − b⃗) · (v⃗ × w⃗) ist das Spatprodukt der drei Vektoren. Es kann auch als Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix geschrieben werden. Daher gilt außerdem

d(g,h) = |det(a⃗ − b⃗, v⃗, w⃗)| / |v⃗ × w⃗|.

Beispielrechnung

Gegeben sind

g: (−1, 0, −1)ᵀ + t(2, 1, −2)ᵀ

und

h: (0, 11, 7)ᵀ + t(1, 2, 2)ᵀ.

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ist

v⃗ × w⃗ = (2,1,−2)ᵀ × (1,2,2)ᵀ = (6,−6,3)ᵀ.

Seine Länge beträgt 9. Ein dazugehöriger Einheitsvektor ist deshalb

n⃗₀ = ⅓(2,−2,1)ᵀ.

Der Verbindungsvektor der Stützpunkte lautet a⃗ − b⃗ = (−1,−11,−8)ᵀ. Mit dem Skalarprodukt ergibt sich der Abstand

d(g,h) = ⅓ · 12 = 4.

Der Abstand der beiden Geraden beträgt somit 4.