Achsenabschnittsform

Grundidee

Die Achsenabschnittsform beschreibt Geraden in der euklidischen Ebene und Ebenen im euklidischen Raum durch ihre Achsenabschnitte. Achsenabschnitte sind die Stellen, an denen eine Gerade oder Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Dadurch lassen sich Lage und Gleichung unmittelbar aus diesen Schnittstellen angeben.

Geraden in der Ebene

Eine Gerade mit den Achsenabschnitten x₀ und y₀ besteht aus allen Punkten (x,y), für die gilt:

x/x₀ + y/y₀ = 1.

x₀ ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, y₀ der Schnittpunkt mit der y-Achse. Ist die Gerade parallel zur x-Achse, lautet die Form y/y₀ = 1; ist sie parallel zur y-Achse, lautet sie x/x₀ = 1. Verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung, ist die Achsenabschnittsform nicht definiert.

Nach y aufgelöst lautet die Gleichung y = −(y₀/x₀) · x + y₀. Das Verhältnis −y₀/x₀ ist die Steigung der Geraden. Schneidet eine Gerade die x-Achse bei x₀ = 6 und die y-Achse bei y₀ = 3, so ist ihre Gleichung x/6 + y/3 = 1.

Herleitung und Umformung bei Geraden

Anschaulich folgt die Gleichung mit dem 2. Strahlensatz. Liegt P(x|y) auf einer Geraden g mit Achsenabschnitten x₀ und y₀, gilt y/y₀ = (x₀ − x)/x₀. Durch Umformen erhält man x/x₀ + y/y₀ = 1.

Algebraisch geht man von der allgemeinen Koordinatenform ax + by = c aus. Division durch c ergibt ax/c + by/c = 1 beziehungsweise x/(c/a) + y/(c/b) = 1. Mit x₀ = c/a und y₀ = c/b entsteht die Achsenabschnittsform. Aus Normalenform, Hessescher Normalform, Parameterform oder Zweipunkteform wird zuerst die allgemeine Koordinatenform bestimmt.

Ebenen im Raum

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum wird durch drei reelle Zahlen x₀, y₀ und z₀ beschrieben:

x/x₀ + y/y₀ + z/z₀ = 1.

Die Zahlen geben die Schnittstellen mit x-, y- und z-Achse an. Die Schnittpunkte heißen Spurpunkte. Ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Ist die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, fehlen die betreffenden Spurpunkte und Terme. Enthält sie den Koordinatenursprung, ist die Achsenabschnittsform nicht definiert.

Für die allgemeine Koordinatenform ax + by + cz = d gilt x₀ = d/a, y₀ = d/b und z₀ = d/c. Bei einer zur Achse parallelen Ebene fehlt ein Achsenabschnitt; die Rechnung würde dann eine Division durch null enthalten. Andere Ebenenformen werden zunächst in die Koordinatenform überführt. Für x₀ = 2, y₀ = 3 und z₀ = −1 lautet die Ebenengleichung x/2 + y/3 − z = 1.

Anwendung

In der Kristallographie wird die Achsenabschnittsform bei den Millerschen Indizes verwendet, um Kristallflächen zu bezeichnen.