Hyperebene

Grundidee und Definition

Eine Hyperebene ist eine Verallgemeinerung der Ebene auf Räume beliebiger Dimension. In einem n-dimensionalen Raum besitzt sie die Dimension n − 1, also genau eine Dimension weniger als der umgebende Raum. Im n-dimensionalen Koordinatenraum ist sie die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit n Unbekannten. Deshalb ist sie ein wichtiges geometrisches Modell für lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme.

Im euklidischen Raum ℝⁿ wird eine Hyperebene durch einen Stützvektor p und n − 1 linear unabhängige Richtungsvektoren u₁, …, uₙ₋₁ beschrieben:

H = {x ∈ ℝⁿ | x = p + s₁u₁ + ⋯ + sₙ₋₁uₙ₋₁ mit s₁, …, sₙ₋₁ ∈ ℝ}.

Der Vektor p legt einen Punkt der Hyperebene fest. Die Richtungsvektoren spannen ihre Richtungen auf; die Parameter (s₁, …, sₙ₋₁) sind die affinen Koordinaten eines Punktes auf der Hyperebene. Anschaulich entsteht eine Hyperebene durch die Verschiebung einer Ursprungsebene um einen festen Vektor.

Spezialfälle zeigen die Bedeutung des Begriffs: Im eindimensionalen euklidischen Raum ist jeder Punkt eine Hyperebene, im zweidimensionalen Raum ist jede Gerade eine Hyperebene und im dreidimensionalen Raum ist jede Ebene eine Hyperebene.

Darstellungsformen im euklidischen Raum

Neben der Parameterdarstellung kann eine Hyperebene durch einen Normalenvektor beschrieben werden. In der Normalenform gilt:

H = {x ∈ ℝⁿ | ⟨v, x − p⟩ = 0}.

Dabei ist v ∈ ℝⁿ \ {0} ein Normalenvektor, p ein Stützvektor und ⟨·, ·⟩ das Standardskalarprodukt. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Hyperebene.

In der hesseschen Normalform lautet die Darstellung:

H = {x ∈ ℝⁿ | ⟨v₀, x⟩ = d}.

Hier ist v₀ ∈ ℝⁿ \ {0} ein normierter und orientierter Normalenvektor. Die Zahl d ∈ ℝ₀⁺ beschreibt den Abstand der Hyperebene vom Koordinatenursprung. Diese Form ermöglicht außerdem eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punktes von der Hyperebene.

Die allgemeine Koordinatenform ist

H = {(x₁, …, xₙ) ∈ ℝⁿ | a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = b},

wobei a₁, …, aₙ, b ∈ ℝ gelten und mindestens einer der Koeffizienten a₁, …, aₙ ungleich null ist. Sie entsteht aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren. Dabei werden a₁ = v₁, …, aₙ = vₙ und b = ⟨v, p⟩ gesetzt.

Bedeutung für Gleichungen und Ungleichungen

Jede lineare Gleichung mit n Unbekannten der Form

a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = b

beschreibt eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Daher stellt jede Zeile eines linearen Gleichungssystems eine Hyperebene dar. Die gesamte Lösungsmenge des Systems ist der Schnitt dieser Hyperebenen.

Eine lineare Ungleichung

a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ ≤ b

beschreibt einen Halbraum. Ein Halbraum ist eine der beiden Seiten, in die eine Hyperebene den Raum teilt. Die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist der Schnitt solcher Halbräume und damit ein konvexes Polytop, zum Beispiel ein Hyperwürfel, ein Hyperrechteck oder ein Simplex, auch Hypertetraeder genannt. Die lineare Optimierung untersucht Verfahren zur Maximierung einer linearen Zielfunktion innerhalb eines solchen konvexen Polytops.

Eine Hyperebene heißt Stützhyperebene einer Menge, wenn sie den Rand der Menge schneidet und die gesamte Menge in einem der beiden durch sie bestimmten abgeschlossenen Halbräume liegt. Für eine konvexe Menge existiert zu jedem Randpunkt eine solche Stützhyperebene.

Der Satz von Stone-Tukey, auch Ham-sandwich theorem genannt, besagt, dass n beschränkte messbare Mengen im n-dimensionalen euklidischen Raum durch eine Hyperebene gleichzeitig jeweils halbiert werden können.

Hyperebenen in der linearen Algebra

In der linearen Algebra wird der Begriff auf Vektorräume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern erweitert. Ist V ein Vektorraum über dem Körper K, so ist eine Hyperebene eine Menge

H = p + U = {p + u | u ∈ U},

wobei p ∈ V ein Vektor und U ein Untervektorraum der Kodimension 1 ist. Kodimension 1 bedeutet, dass die Dimension von U genau um eins kleiner ist als die Dimension des umgebenden Raums. Hyperebenen sind maximale echte affine Unterräume: Jeder echte affine Unterraum ist in einer Hyperebene enthalten.

Kann p = 0 gewählt werden, enthält die Hyperebene den Nullvektor und heißt lineare Hyperebene. Andernfalls spricht man zur Unterscheidung von einer affinen Hyperebene.

Typische Beispiele sind die Koordinatenvektoren in Kⁿ, die eine Gleichung a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = b erfüllen; bei b = 0 ist die Hyperebene linear. Im Matrizenraum Kᵐˣⁿ bilden die Matrizen mit konstanter Summe aller Einträge eine Hyperebene; bei der Konstanten 0 ist sie linear. Im Polynomraum K[X] bilden die Polynome c + a₁X + ⋯ + aₙXⁿ mit festem c eine Hyperebene; für c = 0 ist sie linear. Im Funktionenraum Vᴰ bilden die Funktionen f: D → V mit f(x₀) = f₀ für feste x₀ ∈ D und f₀ ∈ V eine Hyperebene; bei f₀ = 0 ist sie linear.

Jeder Untervektorraum der Kodimension 1 ist der Kern eines nichtverschwindenden linearen Funktionals f: V → K. Deshalb kann man schreiben:

H = p + ker f

oder, mit d = f(p), äquivalent:

H = {v ∈ V | f(v) = d}.

Für eine bestimmte Hyperebene sind f und d nur bis auf einen gemeinsamen Faktor eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist f⁻¹(d) für jedes nichtverschwindende lineare Funktional f und jeden Skalar d eine Hyperebene. Diese Aussagen gelten auch für einen Schiefkörper K und einen Linksvektorraum über K.

In unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen, insbesondere über ℝ oder ℂ, betrachtet die Funktionalanalysis vor allem abgeschlossene Hyperebenen. Ein lineares Funktional ist genau dann stetig, wenn sein Kern abgeschlossen ist. Die abgeschlossenen Hyperebenen werden daher durch nichtverschwindende stetige lineare Funktionale beschrieben. Nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es in normierten beziehungsweise allgemeiner lokalkonvexen Räumen sehr viele davon. Sie haben die Form H = {v ∈ V | Re(f(v)) = d} mit d ∈ ℝ und ermöglichen nach dem Trennungssatz die Trennung zweier disjunkter konvexer, kompakter Mengen. Verwandte Seiteneinteilungen gibt es auch für affine Räume über angeordneten Körpern und in bestimmten nichtdesarguesschen affinen Ebenen.

Projektive Hyperebenen und affine Räume

Im projektiven Raum P(V) ist eine Hyperebene ein projektiver Unterraum der Kodimension 1. Sie entsteht aus einem Untervektorraum U von V der Kodimension 1, indem man den Nullvektor entfernt und alle von null verschiedenen skalaren Vielfachen miteinander identifiziert:

H = (U \ {0})/∼.

Die Hyperebene ist selbst wieder ein projektiver Raum, nämlich P(U). Ist V (n + 1)-dimensional, dann ist P(V) n-dimensional und P(U) (n − 1)-dimensional.

Für den projektiven Standardraum P(Kⁿ⁺¹) mit homogenen Koordinaten (x₀ : x₁ : … : xₙ) besitzt eine projektive Hyperebene die Koordinatendarstellung

H = {(x₀ : x₁ : … : xₙ) ∈ P(Kⁿ⁺¹) | a₀x₀ + a₁x₁ + ⋯ + aₙxₙ = 0},

wobei a₀, …, aₙ ∈ K sind und mindestens ein Koeffizient ungleich null ist. Eine nichtdesarguessche projektive Ebene kann jedoch nicht auf diese Weise koordinatisiert werden; dort sind die Hyperebenen per Definition die Geraden.

Zu den euklidischen Räumen bestehen folgende Entsprechungen: Eine Hyperebene, also ein Punkt, auf der projektiven Geraden P(ℝ²) entspricht einer Ursprungsgeraden in ℝ². Eine Hyperebene, also eine Gerade, in P(ℝ³) entspricht einer Ursprungsebene in ℝ³. Eine Hyperebene, also eine Ebene, in P(ℝ⁴) entspricht einer Ursprungshyperebene in ℝ⁴.

Entfernt man eine projektive Hyperebene H aus einem projektiven Raum P, erhält man einen affinen Raum A = φ(P \ H). Die Punkte des affinen Raums heißen eigentlich, die Punkte der entfernten Hyperebene uneigentlich oder Fernpunkte. Umgekehrt kann jeder affine Raum durch Hinzufügen einer Fernhyperebene gleicher Dimension zu einem projektiven Raum erweitert werden. Für P = P(Kⁿ⁺¹) und H = {(0 : x₁ : … : xₙ) | x₁, …, xₙ ∈ K} lautet die Einbettung φ: (x₀ : … : xₙ) ↦ (x₁/x₀, …, xₙ/x₀), mit der Inversen φ⁻¹: (x₁, …, xₙ) ↦ (1 : x₁ : … : xₙ).

Projektive Hyperebenen werden unter anderem in der algebraischen Geometrie und algebraischen Topologie beim Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte verwendet. In der endlichen Geometrie sind endliche affine oder projektive Geometrien besonders interessant, wenn die Hyperebenen neben den gewöhnlichen Punkten als Blockmenge gewählt werden. Eine weitere Verallgemeinerung des Hyperebenenbegriffs findet sich in der Matroidtheorie.