Dreipunkteform

Grundidee

Die Dreipunkteform oder Drei-Punkte-Form ist eine spezielle Form einer Ebenengleichung. Sie beschreibt eine Ebene im euklidischen Raum mithilfe von drei Punkten, die auf dieser Ebene liegen. Der Ortsvektor eines dieser Punkte wird als Stützvektor verwendet; die Differenzvektoren zu den beiden anderen Punkten bilden die Richtungsvektoren. Dadurch ist die Dreipunkteform eine spezielle Parameterdarstellung der Ebene.

Die entsprechende Form einer Geradengleichung heißt Zweipunkteform. Während eine Gerade durch zwei Punkte festgelegt werden kann, benötigt man für eine Ebene drei geeignete Punkte.

Darstellung und Bedingungen

Im dreidimensionalen Raum wird eine Ebene durch die Ortsvektoren {\vec p}, {\vec q} und {\vec r} dreier Punkte beschrieben. Alle Punkte der Ebene haben Ortsvektoren {\vec x}, die folgende Gleichung erfüllen:

{\vec x}={\vec p}+s({\vec q}-{\vec p})+t({\vec r}-{\vec p}) für s,t\in\mathbb{R}.

Dabei ist {\vec p} der Stützvektor. Die beiden Vektoren {\vec q}-{\vec p} und {\vec r}-{\vec p} sind die Richtungsvektoren der Ebene. Die Parameter s und t geben an, wie weit man in Richtung dieser beiden Richtungsvektoren geht.

Die drei Punkte dürfen nicht kollinear sein, sie dürfen also nicht alle auf einer Geraden liegen. Genau dann ist wirklich eine Ebene festgelegt. Mathematisch gilt dafür die Bedingung:

({\vec q}-{\vec p})\times({\vec r}-{\vec p})\neq{\vec 0}.

Jedem Wertepaar (s,t) entspricht genau ein Punkt der Ebene. Die beiden Richtungsvektoren spannen ein affines Koordinatensystem auf; (s,t) sind die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene.

Ausgeschriebene Form und Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Dreipunkteform:

(x_1,x_2,x_3)^T=(p_1,p_2,p_3)^T+s(q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3)^T+t(r_1-p_1,r_2-p_2,r_3-p_3)^T, mit s,t\in\mathbb{R}.

Komponentenweise ergibt sich:

(x_1,x_2,x_3)^T=(p_1+s(q_1-p_1)+t(r_1-p_1),\ p_2+s(q_2-p_2)+t(r_2-p_2),\ p_3+s(q_3-p_3)+t(r_3-p_3))^T.

Für die drei Ortsvektoren {\vec p}=(3,2,1)^T, {\vec q}=(5,1,1)^T und {\vec r}=(2,2,3)^T erhält man:

(x_1,x_2,x_3)^T=(3,2,1)^T+s(2,-1,0)^T+t(-1,0,2)^T=(3+2s-t,\ 2-s,\ 1+2t)^T.

Jede Wahl von (s,t), zum Beispiel (0,0) oder (1,2), ergibt einen Punkt der Ebene.

Berechnung aus anderen Formen

Liegt eine Ebene bereits in Parameterform vor, also mit Stützvektor {\vec p} und Richtungsvektoren {\vec u} und {\vec v}, lassen sich zwei weitere Punkte der Ebene einfach bestimmen:

{\vec q}={\vec p}+{\vec u} und {\vec r}={\vec p}+{\vec v}.

Zusammen mit {\vec p} erhält man damit die drei Punkte, die für die Dreipunkteform benötigt werden.

Aus anderen Ebenenformen, etwa der allgemeinen Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform oder der hesseschen Normalform, wird zuerst die zugehörige Parameterform ermittelt. Daraus kann anschließend die Dreipunkteform gebildet werden.

Verwandte Darstellungen

Eine verwandte Darstellung nutzt baryzentrische Koordinaten. Dabei wird eine Ebene durch

{\vec x}=\lambda {\vec p}+\mu {\vec q}+\nu {\vec r} für \lambda,\mu,\nu\in\mathbb{R} mit \lambda+\mu+\nu=1

beschrieben. Die Zahlen (\lambda,\mu,\nu) heißen normierte baryzentrische Koordinaten. Sind alle drei Koordinaten positiv, liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks, das durch die drei vorgegebenen Punkte beschrieben wird. Sind eine oder zwei Koordinaten negativ, liegt der Punkt außerhalb dieses Dreiecks.

Die Verbindung zur Dreipunkteform ergibt sich aus:

{\vec x}={\vec p}+s({\vec q}-{\vec p})+t({\vec r}-{\vec p})=(1-s-t){\vec p}+s{\vec q}+t{\vec r},

wobei (1-s-t)+s+t=1 gilt. Die baryzentrischen Koordinaten sind spezielle homogene affine Koordinaten; die Dreipunkteform verwendet inhomogene affine Koordinaten.

Eine Ebene durch drei Punkte kann außerdem als Determinantenform beschrieben werden:

\det\begin{pmatrix}x_1&p_1&q_1&r_1\\x_2&p_2&q_2&r_2\\x_3&p_3&q_3&r_3\\1&1&1&1\end{pmatrix}=0.

Äquivalent dazu ist:

\det\begin{pmatrix}x_1-p_1&q_1-p_1&r_1-p_1\\x_2-p_2&q_2-p_2&r_2-p_2\\x_3-p_3&q_3-p_3&r_3-p_3\end{pmatrix}=0.

Über das Spatprodukt gilt außerdem:

({\vec x}-{\vec p},{\vec q}-{\vec p},{\vec r}-{\vec p})=({\vec x}-{\vec p})\cdot(({\vec q}-{\vec p})\times({\vec r}-{\vec p}))=({\vec x}-{\vec p})\cdot{\vec n}=0.

Daraus folgt die Äquivalenz zur Normalenform einer Ebenengleichung.

Höhere Dimensionen

Die Dreipunkteform kann nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreiben, sondern auch Ebenen in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Im n-dimensionalen euklidischen Raum gilt weiterhin:

{\vec x}={\vec p}+s({\vec q}-{\vec p})+t({\vec r}-{\vec p}) für s,t\in\mathbb{R}.

Der Unterschied besteht nur darin, dass mit n-komponentigen statt mit dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen analog erhalten.