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Was ist eine Ableitung? | Differentialrechnung Theorie, Definition Ableitung, Differentialquotient
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 57 Zeilen
- hi in diesem Video schauen wir uns an was eine Ableitung ist wie wir sie ganz allgemein berechnen können und Beispiele wofür sie genutzt wird los geht's
- merkt ihr die Ableitung ist einfach nur die lokale Änderung einer Funktion Leibniz hat die Ableitung bezeichnet als einen Proportionalitätsfaktor zwischen
- Infinity Signalen also unendlich kleinen Differenzen in den Eingabewerten bei uns den x-werten und infinitesimalen Änderungen in den resultierenden
- Funktionswerten bei uns den y-Werten anschaulich betrachtet heißt das einfach nur dass wir mit einer Sekante starten das heißt die Direktverbindung zwischen
- zwei Punkten unserer Funktion und nennen wir einfach mal die zugehörigen x-Werte hier x und x0 du wirst auch gleich noch sehen warum ich diese Bezeichnung hier
- wähle für die Punkte mit den zugehörigen Funktionswerten FX und FX null auf jeden Fall ist der Anstieg dieser Sekante hier die ich gerade
- eingezeichnet habe ganz einfach nur ich nenne es mal m für Anstieg und es physikante abhängig von diesen beiden x-werten x und x0 ganz einfach bestimmt
- über das anstiegsdreieck wenn du dich noch an die Schulzeit erinnerst dann doch manchmal hier solche rechtwinkligen Dreiecke hier
- eingezeichnet und dann einfach nur die Differenz der y-Werte ins Verhältnis zu den zu der Differenz der x-Werte hier gesetzt na das heißt für entsprechend
- viele x-Wert die wir voranschreiten gehen wir auch entsprechend viele y-Werte nach oben bzw unten das heißt also dass der Anstieg sich bestimmt über
- die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Wert oder wenn wir das ganze ausschreiben wollen dann ist das einfach nur f von X - F und x0 ist
- so die Differenz der y-Werte der Funktionswerte geteilt durch X - x 0 also die Differenz der beiden x-Wert die wir hier für diese Sekante benutzt haben
- oder wenn du ganz Fans sein möchtest dann kannst du auch die Differenz in den x-werten so lassen also X - x0 lässt du als DX und stellt
- dann einfach nur diese Gleichung hier also Delta x = X - x 0 nach dem X um das heißt du könntest das x0 auf die andere Seite ziehen lange Rede kurzer Sinn X
- ist das gleiche wie x 0 + der Differenz minus fx0 diese Schreibweise ist tatsächlich auch sehr praktisch um dann später die erste Ableitung per Hand
- auszurechnen also ohne spezielle Ableitungsregeln und in gewissen Fällen ist das tatsächlich auch erforderlich dann machen wir es aber meistens so dass
- wir kurzerhand einfach die Differenz in x-werten Hahnen das hat auch andere praktische Gründe über die wir dann später reden beispielsweise bei
- numerischen Berechnungen okay das ist also der Anstieg unserer Sekante was wir aber erreichen wollen ist eine
- lokale Änderung in unserer Funktion und lokal bedeutet dass wir nur hinreichend nah an unseren Punkt beispielsweise x0 herantreten
- und das können wir erreichen indem wir unser x so nah wie möglich an das x0 heran schieben also wenn wir das X beispielsweise ganz nah an das x0
- heranführen dann wird Schritt für Schritt folgendes passieren dieser Punkt nähert sich immer weiter diesen x0 an das heißt also dass diese Sekante
- ihren Anstieg verändert und zwar so weit bis wir schlussendlich
- unglaublich nah an diesem x0 dran sind und am Ende so etwas rausbekommen [Musik] wie diese lineare Funktion hier die
- Tangente an der Funktion FX im Punkt x0 und das Spannende ist dass jetzt der Anstieg dieser Tangente im Punkt X null
- einfach nur der Grenzwert ist wenn wir x gegen x 0 schieben von dem Anstieg der sie kannte die mir gerade eben noch besprochen haben
- oder wenn wir das ganze ausschreiben das heißt wenn wir einfach nur diesen Grenzwert hier x gegen x0 vor unseren
- Differenzenquotienten hier schieben dann das nennt sich Differenzenquotient weil es ein Quotient aus Differenzen ist
- dann könnten wir auch schreiben einfach dass die Differenz in den x-werten gegen Null geht und diese Schreibweise ist deswegen so
- spannend denn wenn die Differenz in den x-werten gegen Null geht dann wird auch die Differenz in den Funktionswerten gegen Null gehen weil es sich hierbei um
- eine stetige Funktion handelt das heißt also wir können hierfür auch ein neues Symbol einführen und zwar das Symbol des Differentials es ist eine einfach nur
- eine unendlich kleine Differenz in den y-Werten geteilt durch eine unendlich kleine einer infinitiisimale
- Änderung in den x-werten in diesem Fall und natürlich alles gerade im Punkt x 0 ja ich habe ja wir haben ja x gegen x-0 geschickt
- das heißt streng genommen können wir hier noch als Argument X9 schreiben ich möchte aber nur dass du weißt dass all das was wir gerade aufgeschrieben haben
- insbesondere diese letzte Schritt hier die Schreibweise mit den Differentialen die Definition für die erste Ableitung ist
- bzw was heißt die Definition dass die Schreibweise dafür die Definition ist im Grunde das was wir vorne stehen haben der Grenzwert oder anders gesagt wenn
- wir diese Schreibweise von hier oben mit den Hass nehmen und dort das Haar gegen Null laufen lassen das nennt sich auch die h-methode zu bestimmen der ersten
- Ableitung und wie gesagt dieses Delta y geteilt durch Delta x das ist der Differenzen Quotient weil es ein Quotient aus Differenzen und dieses D y
- durch die x das ist der differentialquotient weil es ein Quotient aus Differential ist und wenn dieser Grenzwert hier existiert
- dann nennen wir ihn die erst Ableitung und diese erste Ableitung beschreibt eine lokale Änderung der Funktion und
- entspricht dem Anstieg der Tangente in diesem Punkt bzw dem Anstieg der Funktion in diesem Punkt okay da wir jetzt wissen dass die Ableitung die
- lokale Änderung der Funktion ist und sich über so einen Grenzwert hier berechnen lässt würden wir auch gerne noch wissen wozu das Ganze denn
- eigentlich und jetzt könnte ich dir natürlich mit solchen pseudoantworten kommen wie naja da jetzt die Ableitung die lokale Änderung der Funktion ist
- wissen wir auch wie diese Funktion sich lokal verhält gehen sie hoch geht sie runter Monotonie oder wie verändert sich denn die Monotonie Lokal also das
- krümmungsverhalten ist die konkav und das sind auch alles wichtige Hilfsmittel die man tatsächlich alle braucht aber es beantwortet nicht so wirklich die Frage
- nach wozu denn eigentlich und dafür hier meine beste Antwort du kennst doch sicherlich Gleichungen die Zustände beschreiben sowas wie mein
- alter ist das Alter meines Bruders + 9 x ist gleich y + 9 z.B so eine Gleichung beschreibt einen Zustand jetzt
- gibt es aber auch Gleichungen die Prozesse beschreiben können und zwar wenn in ihnen die lokale Änderung einer Funktion vorkommt die erste Ableitung
- solche Gleichungen in denen Ableitungen vorkommen heißen Differentialgleichungen und wie gesagt die beschreiben Prozesse wie beispielsweise ein Gewichtheber der
- eine Stange mit Gewichten hebt an denen aber noch Ketten befestigt sind die bis auf den Boden reichen je höher diese Stange gehoben wird desto schwerer wird
- das Ganze sein Prozess der beschrieben wird oder der Staat einer Rakete bei dem ähm die Geschwindigkeit erhöht wird durch den Ausstoß von Treibstoff von
- Masse die Masse verringert sich über die Zeit das ist auch ein Prozess der beschrieben wird oder das Wetter oder die Ausbreitung von Wärme die
- Ausbreitung von Wellen und und und mit Hilfe von Ableitungen können wir also Gleichungen aufstellen sogenannte Differentialgleichungen die Prozesse
- beschreiben und damit unglaublich wichtig und unentbehrlich sind für Physiker und Ingenieure dazu aber mehr in späteren Videos bis dahin
- alles Gute hey ich hoffe das Video hat er gerade gefallen wenn du dich demnächst auf eine Matheprüfung vorbereiten musst dann schau unbedingt
- mal unter diesem Video nach ich habe dort mehrere von meinen online Kursen verlinkt die dich bestmöglich auf deine Matheprüfung vorbereiten wenn dir das
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