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Crashkurs: Differentialrechnung lernen in 15 Minuten | Math Intuition
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 95 Zeilen
- hallo und herzlich willkommen beim f inzwischen ich bin der markus- und in diesem video erkläre ich dir alles was du zur differenzial rechnung wissen muss
- um damit zurechtzukommen das heißt es geht mir vor allen dingen um die idee dahinter die anschauung dahinter und um eine der wichtigsten formen die man
- brauche man dieses thema einzusteigen also differenzial rechnung ist ein teilgebiet der anders ist und in der annahme es geht es darum funktionen zu
- verstehen und zu analysieren das heißt du hast eine funktion gegeben häufig nennt man die einfach so was wie f so und die idee der differential
- rechnung ist man hat halt irgendwann tolle ideen gehabt die zeige ich dir jetzt gleich und das hat zu super ergebnissen geführt und die erste frage
- die dem sozusagen vorausging war die frage nach der steigung von f also wie kann ich hier steigung beschreiben steigung es erstmal das was du auch aus
- dem alltag kennst ja stell dir vor du hast ein du hast ein auto in dem du fährst und hier unten im tal ist es halt recht
- flach du kannst dich also leicht nach links oder nach rechts bewegen aber wenn ich jetzt hier den berg hoch möchte dann siehst du ist es sehr sehr steil und ob
- etwas flach ist oder steil das kann man auch mathematisch ausdrücken und genau darum geht es in der differential rechnung man möchte
- also die steigung von so einer kurve f berechnen und das ist gar nicht so einfach und deswegen hat man sich erst mal folgendes überlegt starten wir mal
- so einfach wie möglich ja nehmen wir uns erstmal eine gerade ja um erstmal ganz einfach zu starten wie ist das denn mit der steigung für
- eine gerade das interessante ist bei einer gerade ist es egal an welchem punkt ich die steigung messe sie ist immer die gleiche ja also die
- steigung hier ist dieselbe wie die steigung hier es geht immer im selben winkel sozusagen nach oben er in dieser kurve die du eben gesehen hast da kann
- die steigung in jedem punkt hingegen anders sein so aber schauen wir uns erst mal dass hier mit der gerade an naja wie bekomme
- ich jetzt hier eine art maßzahl für die steigung ich nehme mir zwei punkte einmal hier den punkt x0 einmal den punkt x1 und dann betrachte ich dieses
- dreieck was jetzt hier entsteht ja das hat hier so einen rechten winkel und ich kann mich natürlich fragen was die funktions werte sind an diesen stellen
- hier also app von x0 und f von x1 diese hier und dann bekomme ich einen dieses sogenannte steigungs dreieck ja und aus dem bekomme ich tatsächlich so eine art
- maßzahl die mir eine auskunft gibt wie steil dieses f ist und zwar die maßzahl die ich jetzt hier definiere sozusagen die bekomme ich indem ich hier einfach
- schaue wie sehr ist hier der abstand und wie sehr ist hier der abstand ja das heißt ich betrachte das schreibt man dann gern auf als delta mit so einem
- dreieck ein delta delta ix das heißt die veränderung von iks wird hier betrachtet ja die veränderung von iks von x0 zu x1 er also ganz einfaches beispiel x0 ist 1
- und x1 ist drei ja dann ist der tx einfach 3 - 1 also 2 das heißt data access einfach x10 und hier oben analog habe ich delta y also
- die veränderung von meinem y wert und den bekomme ich indem ich einfach schaue ja was ist denn der ypsilon wert von x1 also der nachher wert so zu sagen und
- dann vergleiche ich das mit dem vorher wert und ziehe das auch einfach voneinander ab und das interessante ist jetzt ich kann jetzt mit hilfe dieser
- beiden veränderungen steigung beschreiben warum ist das so ganz einfaches beispiel stell dir vor du bewegst dich drei schritte vorwärts und
- einen schritt nach oben sozusagen also drei ist gleich tax und der ypsilon s1 dann wenn ich jetzt diesen bruch bilde 1 durch 3
- dann habe ich tatsächlich eine maß zeit für steigung ja denn ich sage nämlich wie ist das verhältnis von dem höhenunterschied den ich überwinde für
- den längen unterschied den ich überwinde also wenn ich drei schritte vorwärts gehe muss ich einen höhenunterschied von einem schritt überwinden ja das heißt
- das ist ja ein drittel ist dafür eine zahl das wäre das heißt ich bin mehr nach vorn gelaufen als ich hör gelaufen bin
- wenn ich hingegen andere zahl hier hätte das sieht jetzt das passiert zwar nicht mehr zu dem bild ja du siehst ja der das hier ist ja viel länger als das hier
- aber wenn wenn dich das jetzt mal nicht stört könntest du ja auch sagen was ist denn die steigung for vendetta x2 ist und der ypsilon ist auch zwei ja dann
- würde dieser ausdruck delta y durch delta iks der wäre 2 durch zwei ist gleich 1 und das ist zum beispiel genauso wie bei deinem geodreieck ein
- geodreieck das hat ja auch hier dieselbe länge zum beispiel hier zwei und hier auch 2 und das bedeutet nichts anderes als dass der winkel der hier entsteht 45
- grad hat das heißt so hast du kannst du das jetzt vielleicht für dich übersetzen nämlich wenn dieser quotient dieser bruch hier wenn der 1 ist dann
- entspricht das genau 45 grad wenn aber so wie wir eben gesehen haben das verhältnis er ist drei zu eins so wie hier dann siehst du dass da ein
- drittel raus kommt also eine zeit die deutlich kleiner ist als einst das heißt dieser winkel der hier entsteht er ist auch deutlich kleiner als 45 grad
- das heißt du hast eine vorstellung jetzt gefunden für das messen der steigung nämlich müssen um die steigung quasi anzugeben berechnen wir einfach nur
- delta y durch data so kann ich das zumindest bei einer gerade machen wie ist das jetzt hingegen bei meiner funktion für die ich das eigentlich
- haben möchte also so eine kurve wie wir sie eben gesehen haben ja wenn man es so aussieht dann frage ich mich jetzt was ist also die steigung dieser funktion
- und wie gesagt die steigung einer funktion die kann ich nur berechnen an einem punkt weil die steigung hier unterscheidet sich natürlich deutlich
- von der steigung hier ja also die steigung hängt wirklich ab von der stelle an der ich sie berechnen so und man möchte jetzt dieses wissen was man
- über geraden schon entdeckt hat das kann man hier tatsächlich auch nutzen und zwar möchte man eine gerade finden und zwar diese gerade hier unten ich
- zeichne sie mal ein die das f das war nicht ganz gut diese hier vielleicht die berührt diesen graf von f nur in diesem einen punkt nur
- in diesem punkt berührt diese gerade mein f und das ist eine so genannte tangente wie sie zum beispiel die tangente in diesem punkt aus die würde
- ungefähr so aussehen also man muss ganz vorsichtig zeichnen weil das hier wäre keine tangente die berührt f in zwei punkten sondern genau
- in einem punkt genau hier ja das heißt hier ist irgendwie so ein fiktiver rechter winkel der hier entsteht aber es ist trotzdem die ihr jetzt noch
- nicht klar woher diese gerade kommt und wie man die erhält und das zeige ich dir jetzt und zwar diese tangente das ist quasi das ziel ja die kann mir dabei
- helfen die steigung zu berechnen in diesem punkt ja und jetzt mache ich dafür eine kleine hilfestellung und zwar ich nehme mir einen zweiten punkt diesen
- hier und jetzt habe ich erst mal jetzt kann ich ja die gerade nehmen die durch diese beiden punkte geht diese hier diese gerade und da habe ich
- auch wieder so ein kleines steigungs dreieck und ich kann genau diese formel von hier oben an wänden nämlich delta y durch delta ickx und das heißt es von
- x11 von links null schreibe ich oben hin und im nenner hier und schreibe ich dann x10 das mache ich erstmal und zwar bekomme ich dann also dann habe ich die
- steigung also ein maß für die steigung von dieser gerade das ist also have von x1 - phoenix 0 durch x1 - x0 das ist aber insofern ja noch ungenau weil du
- siehst ja schon dass sich hier die steigung verändert hat ja ich bin ja dem werk schon ein bisschen hoch gegangen das heißt eigentlich diese gerade hier
- die hat ja schon eine andere steigung als die steigung die ich hier unten eigentlich haben möchte von dieser tangente ja wie kann ich mich dann aber
- dieser tangente so ein bisschen annähern indem ich mein x1 ganz ganz nah an meinem x0 wehle und das ist quasi die nächste idee und zwar diesen abstand
- hier von den beiden den definiere ich jetzt als h das heißt h ist definiert als einfach x1 - 60 oder anders gesagt wenn ich hier starten
- würde 60 + h ist gleich x1 so und wenn ich jetzt diese gleichung hier in meine formel 1 tragen dann passiert folgendes
- dann habe ich hier f von iks 0 + hs ausgetauscht phonix 0 durch 60 ha - x0 und hier ist es jetzt so ihr hab ich nix 060 und deswegen kann hebt sich das
- einfach weg und was hier unten nur noch stehen bleibt ist h so und diese ja dieser termin dieser ausdruck der ist sehr sehr wichtig das ist nämlich jetzt
- der differenzen quotient so nennt man das genauso wie das hier oben was hier entstanden ist das nennt man auch differenzen quotient ja weil hier habe
- ich mit differenz hier habe ich die differenz und ich bilde den quotient davon ja und das einzige was ich jetzt hier
- unterscheidet ist dass anstatt dass ich den den punkt x1 hier drin stehen lassen habe habe ich den punkt x1 jetzt ausgedrückt mit hilfe dieses haas ich
- habe einfach gesagt x1 bekomme ich wenn ich's 0 bei x0 starte und hardy und was man jetzt machen möchte oder was ja wie gesagt nur noch fehlt ist man möchte
- dieses x1 eigentlich ganz ganz nah an dem x0 haben so und das entspricht einfach der änderung dass mein haar möglichst klein sein soll ja das haar
- soll ganz ganz klein sein so und deswegen macht man ja zum schluss noch folgenden schritt einfach nämlich ich lasse dieses haar gegen null laufen also
- ich lasse es so klein werten wie ich nur kann am besten sogar einfach nur einsetzen für mein haar wenn das möglich ist und das drückt man aus mit ich
- berechne den limes für h gegen null von diesem gesamten ausdruck und das ist quasi unser ergebnis denn wenn du das hier ausrechnet dann hast du
- die steigung von 60 also von f in dem punkt x0 das ist dann tatsächlich das was ich bekomme also wenn du diese gerade hier nimmst und jetzt würdest du
- dir aber vorstellen dieses x1 das ist jetzt ganz ganz ganz ganz nah heran so nah wie nur geht ja als ob du hier ganz oft rein gesund hast dann bekommst du
- halt langsam wirklich diese steigung von dieser tangente ja die ist dann quasi das ergebnis ja oder wenn du halt diesen punkt x0 gehabt hättest der wenn der
- punkt ist nur dieser hier gewesen wäre dann würdest du halt auch erst mit dieser gerade starten wenn das x1 näher ran kommt dann hast du schon diese
- gerade und wenn du noch näher heran kommt irgendwann bist du genau auf dieser tangente und die sieht dann so aus das ist quasi die idee und wenn du
- diesen ausdruck ausrechnet hast du also die steigung der tangente in dem punkt x0 und damit hast du die steigung von f in dem punkt x0 und jetzt noch ein
- schnelles beispiel dazu wie du so was also ausrechnen das ist ganz einfach und zwar wir nehmen uns f von iks ist gleich ins quadrat und
- diesen ausdruck musst du zuerst ausrechnen so würde ich dir empfehlen dass auch aufzuschreiben und zwar also erst mal schreiben dass ab ohne den
- limes teil her das macht mir dann zum schluss so hier durch h und jetzt kann ich natürlich jetzt weiß ich ja was mein f mit dem mix macht und
- deswegen kann ich das hier quasi hier anwenden das heißt ich quartiere das was hier drin steht ja das ixs wird quartiert das
- heißt hier wird das x0 h das wird quadri rhd und dann wird hier 60 wird quadri und jetzt kann ich hier das haar stehen lassen und da ändert
- sich nichts jetzt mache ich einfach umformungen da oben das ist die erste biologische formel da kommt raus x0 quadrat plus 2 x 60 x h + h quadrat das
- ist der ganze klammer ausdruck - dem x0 quadrat und hier siehst du schon hier kürzlich was weg oder was heißt 14 sie hebt sich was weg 60 quadratmeter sex 0
- quadrat und hier unten ich ein haar stehen und jetzt kann ich jetzt habe ich hier oben eine summe wobei beide summen haben einen h drin
- stehen deswegen kann ich das haar ausklammern und dann steht hier zweimal x0 + h durch h jetzt kann ich tatsächlich kürzen
- nämlich das haar unten und das haar oben und dann ist mein ergebnis 2 x iks 0 + h das ist also der ausdruck jetzt kann man nichts weiter vereinfachen das ist quasi
- dieser ausdruck gewesen und jetzt am ende muss sich das haar gegen null laufen lassen das heißt im idealfall kann ich einfach einsetzen schreibt man
- dann so auf h gegen null und dann wird dieser ausdruck einfach zu ihr hier kann ich tatsächlich für h direkt gleich null einsetzen und dann
- bleibt hier nur noch übrig zweimal 60 und das ist dann damit dein ergebnis das heißt diese funktion f hat an der stelle x0 die steigung zweimal 60
- und das ist tatsächlich weist du den begriff der ableitung kennst ja dann weißt du im übrigen auch so das ist genau wie man eine ableitung berechnet
- sozusagen nämlich du bekommst dann als antwort abstrich von iks ist gleich zwei mal ist genau das was man hier berechnet hat ja hier musste ich ja quasi x0 bezog
- sich darauf dass ich einen konkreten punkt habe aber genau diese rechnung kann man für jeden beliebigen punkt iks machen und deswegen bekomme ich die
- ableitung abstrich von iks ist gleich 2x er mit hilfe dieser rechnung das heißt das ist der differential quotient nennt man das dann wenn ich
- dann diese wenn ich noch diesen diese grenzwert betrachtung hier gemacht habe und dass hier oben das war der differenzen prozent und damit konnte ich
- jetzt also tatsächlich die steigung von diesem es in diesem punkt berechnen und ich hoffe das war einigermaßen verständlich lassen wir ein feedback da
- und ansonsten bis zum nächsten mal und wenn dir das video hier gefallen hat und du zufällig mathe oder was ähnliches studiert oder studieren möchtest dann
- habe ich eine gute nachricht für dich dann gibt es nämlich noch ganz viele weitere videos wie dieses hier von mir in dem video kurs analysis 1 inzwischen
- da erkläre ich die analyse science vorlesung mit allem was dazu gehört folgen reinsch tätigkeit täler polygone und so weiter genauso wie in
- diesem video also wenn ich das interessiert schaut einfach mal vorbei
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