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Differentialrechnung einfach erklärt - Alle Voraussetzungen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 37 Zeilen
- Hallo und herzlich Willkommen zum Thema Differentialrechnung. Wir schauen uns an, was das ist und was man damit machen kann.
- Gleich vorab gesagt, es ist eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik, das ihr bis zum Ende der Schule beherrschen solltet. Bevor wir richtig loslegen können,
- müssen wir doch erstmal klären, was wir als Vorwissen benötigen. Und da haben wir zum einen die linearen Funktionen. Also so etwas Schönes wie f(x) = m·x + n. Das hatten
- wir bereits gelernt. Das solltet ihr auf jeden Fall draufhaben. Und ihr müsst wissen, wie sich dieses m ergibt. Weiterhin solltet ihr den Grenzwert kennen, den hatten wir in der
- vorigen Lektion behandelt und als Limes kennengelernt. Also zum Beispiel die Schreibweise: Der Limes von 1/x für x gegen + unendlich. Und der wäre in dem Fall 0. Schaut euch hier wie
- gesagt noch mal die Lektion an, wenn ihr nicht wisst, was das bedeutet, denn ihr braucht das für diese Lektion. Und drittens die Lektion mit der grafischen Ableitung. Da hatten wir
- einen Funktionsgraphen und wir hatten gesehen, dass in jedem Punkt eine Steigung ablesbar ist, die wir hier mit dieser Tangente eingezeichnet haben. Also negative Steigung, wenn er nach
- unten geht, und positive Steigung, wenn er nach oben geht. Und dieses Wissen braucht ihr ebenfalls. Das heißt, wenn ihr alle diese drei Lektionen kennt, dann habt ihr sehr gute
- Chancen, jetzt die Differentialrechnung zu verstehen. Legen wir los: Wir wollen also wissen, wie wir hier in jedem beliebigen Punkt diesen Steigungswert herausbekommen. Also
- der zum Beispiel hier etwa 1 wäre. Wie kriegen wir das hier heraus? Und wie kriegen wir hier diesen negativen Wert heraus? Es fragt sich also, wie können wir die Steigung in einem
- Punkt berechnen bzw. die gesamte Ableitungsfunktion, die bei diesem Graphen eine Parabel ist, also x², ermitteln. Und genau das ist unsere große Aufgabe jetzt. Und um erst mal wieder warum
- zu werden, schauen wir uns noch mal die linearen Funktionen an und kucken, wie wir dort die Steigung bestimmt haben. Wir hatten einen linearen Graphen, in diesem Fall f(x) = 0,5·x
- und dort legen wir ein Steigungsdreieck an. Und mit Hilfe dieses Steigungsdreiecks bekommen wir einmal die Differenz der Höhe, das haben wir dann Delta y genannt, und die Differenz
- für x, also von einem x-Wert zum nächsten x-Wert und wir sehen, 2:4 sind 1/2 bzw. 0,5. Und das ist dann unser m, unser Steigungswert für diesen Graphen. Und um die Differenz
- bestimmen zu können, hatten wir den y-Wert von diesem Punkt und den y-Wert von diesem Punkt miteinander subtrahiert und um die Differenz für x herauszubekommen, haben wir den x-Wert
- von diesem Punkt minus dem x-Wert von diesem Punkt, also 6 - 2 und das ist 4, und hier 3 - 1 und wir erhalten 2. Und Delta y : Delta x ergibt dann unsere Steigung. Notieren wir
- noch mal die Normalform unserer linearen Funktion f(x) = m·x + n. Für unser Beispiel, n ist hier 0, der Graph geht durch den Koordinatenursprung, das heißt, wenn hier +0 steht können wir
- das auch gerne entfernen. So und jetzt ist die Frage, wie notieren wir jetzt das m, und da hatten wir ja gesagt, das ist Delta y : Delta x. Und jetzt: Delta y ergibt sich aus den
- zwei y-Werten der beiden Punkte hier, aus der Differenz. Das schreiben wir kurz mit y2 - y1, also der obere Wert minus dem unteren Wert in dem Fall. Und für Delta x genauso
- x2 - x1. Und dass ihr diese Schreibweise bzw. diesen Inhalt versteht, ist sehr wichtig für das Folgende. Ihr müsst wissen, dass sich hieraus die Steigung ergibt, unser Wert m.
- Dass also nichts weiter dahinter steckt als dieses Steigungsdreieck. Und man nennt das Ganze "Differenzenquotient". Oben haben wir die Differenz aus y und unten haben wir die
- Differenz aus x. Zusammen haben wir also einen Quotienten, deswegen Differenzenquotient. Diesen Begriff bitte unbedingt merken. Gut. Wie wir also sehen, ist es also sehr einfach,
- bei einer linearen Funktion die Steigung zu bestimmen. Wenn wir uns jetzt eine quadratische Funktion, also deren Parabel anschauen, können wir jetzt nicht einfach so hier die Steigung
- ablesen, denn wir haben weder Steigungsdreieck noch linearen Graphen hier. Wie wir jedoch schon bei der grafischen Ableitung gesehen hatten, können wir uns hier verschiedene
- Punkte wählen und jedes Mal eine Gerade anlegen. Die Geraden haben jedoch alle unterschiedliche Steigungen. Diese gilt es für uns zu ermitteln. Wir können uns glücklicherweise eine Gerade
- zu Hilfe nehmen und damit die Steigung in einem Punkt annähern. Nur wie berechnen wir das? Hierfür benötigen wir zwei Punkte des roten Graphen, also der Parabel. Denn mit
- diesen zwei Punkten haben wir x1 und x2, y1, y2 und dann könnten wir die Steigung ausrechnen. Die Tangente gibt uns jedoch nur einen Punkt. Daher müssen wir einen Trick anwenden, wir
- nutzen die Sekante. Eine Sekante ist eine Gerade, die einen anderen Graphen bzw. eine Kurve in zwei Punkten schneidet. „sekare“ heißt schneiden. Und dies ist hier der Fall.
- Einmal den Schnittpunkt hier und hier. Für diese Sekante, die ja eine lineare Funktion ist, können wir auch die Funktionsgleichung aufstellen. Wenn wir uns zwei sinnvolle Punkte
- suchen, wie zum Beispiel (0|0) und hier (4|4), haben wir als Differenz für y = 4 und für x = 4. Das heißt, die Steigung unserer blauen Sekante ist 1. Wir wollen jedoch die Steigung
- hier in diesem Punkt haben, bei (4|4). Was machen wir? Wir verkleinern unsere Differenz für x. Denn um so kleiner sie wird, also um so weiter wir nach rechts gehen mit dem
- Punkt, verschieben wir ihn weiter nach rechts, dann haben wir hier nur noch eine Differenz von 2, also Delta x = 2. Und wir sehen, unsere Sekante wird langsam zu einer Tangente, die
- nur noch in einem Punkt berührt. Und deswegen brauchen wir auch den Limes, wir lassen diesen Wert hier, diesen x-Wert x = 2 gegen 4 laufen. Und um so kleiner unsere Differenz für x
- wird, um so mehr wird unsere Sekante eine Tangente. Und wenn wir die Tangente haben, in diesem Punkt, dann haben wir auch die Steigung in diesem Punkt. Und wenn wir es jetzt hier
- auf 0 laufen lassen, unser Delta x sozusagen 0 wird, dann haben wir die Steigung in diesem Punkt. Und die lesen wir jetzt ausnahmsweise ab, das ist 1 nach rechts, 2 nach oben, also
- 2:1, das heißt, die Steigung ist 2 in diesem Punkt. Und wenn Delta x gegen 0 geht, dann haben wir unsere Tangente hier. Und jetzt können wir mit Hilfe der Sekante und ihren
- zwei Punkten den Differenzenquotienten aufstellen und dann die Steigung ermitteln, rechnerisch. Machen wir das also als nächstes.
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