Lineare Funktion

Definition und Bedeutung

Eine lineare Funktion ist in der Schulmathematik meist eine Funktion f: R -> R, die in der Form f(x)=m*x+n mit m,n in R geschrieben werden kann. Sie ist eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades. Ihr Graph ist eine Gerade.

Genau genommen ist eine solche Funktion im Allgemeinen keine lineare Abbildung im Sinn der linearen Algebra, sondern eine affine Abbildung, auch affin-lineare Funktion genannt. Nur im Spezialfall n=0, also f(x)=m*x, handelt es sich um eine lineare Abbildung im Sinn der linearen Algebra. Dieser Spezialfall heißt auch homogene lineare Funktion oder Proportionalität. Für n != 0 spricht man auch von einer linear-inhomogenen Funktion.

Lineare Funktionen gehören zu den grundlegenden Funktionen der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich mit ihnen leichter lösen; deshalb werden kompliziertere Zusammenhänge häufig durch lineare Funktionen approximiert, also näherungsweise beschrieben.

Graph und Funktionsgleichung

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten (x|y) gilt y=m*x+n. Dabei ist x die Abszisse, also die unabhängige Variable, und y die Ordinate, also die abhängige Variable.

Die Form f(x)=mx+n oder y=mx+n heißt Normalform einer linearen Funktion. Der Parameter m gibt die Steigung der Geraden an. Der Parameter n ist der y-Achsenabschnitt, auch Ordinatenabschnitt, Inhomogenität oder Verschiebungskonstante genannt.

Der Graph einer linearen Funktion kann nie parallel zur y-Achse verlaufen. Sonst würden einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet, was der Eindeutigkeit einer Funktion widerspricht.

Steigung und Achsenschnittpunkte

Die Steigung beschreibt, wie stark eine Gerade steigt oder fällt. Bei einer linearen Funktion f(x)=m*x+n kann man sie direkt am Koeffizienten m ablesen. Für den Steigungswinkel alpha gilt tan alpha=m.

Aus zwei Punkten der Geraden berechnet man die Steigung mit m=(y2-y1)/(x2-x1). In anderer Schreibweise gilt tan alpha=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)=Delta y/Delta x.

Der Schnittpunkt P mit der x-Achse hat die Form P(xP|0). Dafür gilt f(xP)=0. Der Schnittpunkt Q mit der y-Achse hat die Form Q(0|yQ). Dafür gilt yQ=f(0). In der Normalform ist dieser y-Achsenabschnitt n.

Funktionsterm bestimmen

Sind zwei verschiedene Punkte (x1|y1) und (x2|y2) auf dem Graphen einer linearen Funktion bekannt, kann man den Funktionsterm bestimmen. Zuerst berechnet man die Steigung m=(y2-y1)/(x2-x1).

Danach berechnet man den y-Achsenabschnitt mit n=y1-mx1 oder n=y2-mx2. Der Funktionsterm lautet dann f(x)=((y2-y1)/(x2-x1))*x+(y1-((y2-y1)/(x2-x1))*x1).

Kürzer kann man dieselbe lineare Funktion auch in der Punkt-Steigungs-Form schreiben: f(x)=((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1)+y1. Ist stattdessen die Steigung m und ein Punkt P1(x1|y1) bekannt, setzt man in f(x)=mx+n ein und erhält n=y1-m*x1.

Geraden vergleichen

Schneiden sich zwei Geraden, die durch f(x) und g(x) beschrieben werden, muss im Schnittpunkt f(x)=g(x) gelten. Die Lösung dieser Gleichung ist die x-Koordinate xS des Schnittpunktes. Die y-Koordinate erhält man durch yS=f(xS)=g(xS).

Für zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden g1 und g2 mit den Steigungen m1 und m2 gilt m1*m2=-1. Gleichwertig dazu sind die Formeln m1=-1/m2 und m2=-1/m1.

Ableitung, Grenzverhalten und mehrere Veränderliche

Die Ableitung einer linearen Funktion f(x)=m*x+n ist f'(x)=m. Sie ist also eine konstante Funktion. Stammfunktionen von f haben die Form F(x)=(m/2)x^2+nx+c. Für m != 0 sind das quadratische Funktionen, für m=0 lineare Funktionen.

Für das Verhalten im Unendlichen entscheidet das Vorzeichen von m: Ist m positiv, gilt lim x->-infty f(x)=-infty und lim x->infty f(x)=infty. Ist m negativ, gilt umgekehrt lim x->-infty f(x)=infty und lim x->infty f(x)=-infty. Für m=0 ist f konstant, und es gilt lim x->-infty f(x)=lim x->infty f(x)=n.

Eine affin lineare Funktion zweier Veränderlicher hat die Form f(x,y)=ax+by+c mit a,b,c in R. Ihr Graph ist eine Ebene. Allgemein hat eine affin lineare Funktion mehrerer Veränderlicher x1,...,xn die Form f(x1,...,xn)=a1x1+...+anxn+c mit a1,...,an,c in R. Ihr Graph ist eine Hyperebene.