Quadratische Gleichung

Grundidee und Definition

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Dabei ist x die Unbekannte, a, b und c sind Koeffizienten. Das Glied ax² heißt quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied, auch Absolutglied. Die Bedingung a ≠ 0 ist nötig: Bei a = 0 bliebe nur eine lineare Gleichung.

Eine Lösung ist eine Zahl, die nach dem Einsetzen für x die Gleichung erfüllt. Beispielsweise lösen x = ±2 die Gleichung x² − 4 = 0. Die linke Seite ax² + bx + c ist zugleich die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c. Ihr Graph ist eine Parabel; Lösungen der Gleichung f(x) = 0 sind geometrisch die Nullstellen, also die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Hat a = 1, liegt die Normalform x² + px + q = 0 vor. Sie entsteht aus der allgemeinen Form durch Division durch a, wobei p = b/a und q = c/a gelten.

Anzahl und Art der Lösungen

Zur Bestimmung der Zahl reeller Lösungen dient die Diskriminante D. In der allgemeinen Form ist D = b² − 4ac, in der Normalform D = p² − 4q.

• D > 0: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
• D = 0: Es gibt genau eine doppelte reelle Lösung. Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt; die Gleichung lässt sich zu a·(x − x₁)² = 0 umformen.
• D < 0: Es gibt keine reellen Lösungen, weil die Parabel die x-Achse nicht schneidet. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es dann zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen: Sie haben denselben Realteil und Imaginärteile mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Lässt man komplexe Zahlen zu, besitzt jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten genau zwei Lösungen, die gegebenenfalls zusammenfallen. Für komplexe Koeffizienten a, b, c ∈ ℂ mit a ≠ 0 gilt ebenfalls: az² + bz + c = 0 hat stets zwei komplexe Lösungen; sie fallen genau dann zusammen, wenn b² − 4ac = 0 ist.

Lösungswege und Sonderformen

Die allgemeine Lösungsformel für ax² + bx + c = 0 lautet x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Sie heißt a-b-c-Formel; umgangssprachlich wird sie auch Mitternachtsformel genannt. Bei negativer Diskriminante wird √D = i√(−D) verwendet. Dann gilt x₁,₂ = −b/(2a) ± i·√(4ac − b²)/(2a).

Für die Normalform x² + px + q = 0 lautet die p-q-Formel x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Bei einem negativen Ausdruck unter der Wurzel sind die komplexen Lösungen x₁,₂ = −p/2 ± i√(q − (p/2)²).

Ein grundlegender Herleitungs- und Lösungsweg ist die quadratische Ergänzung: Man bringt die Gleichung auf eine Form x² ± bx und addiert auf beiden Seiten (b/2)². Dadurch entsteht mithilfe einer binomischen Formel ein Quadrat, etwa (x + b/2)², aus dem nach dem Wurzelziehen die beiden möglichen Vorzeichen folgen.

Bei fehlendem linearen Glied lautet die Gleichung ax² + c = 0. Sie wird zu x² = −c/a. Für −c/a > 0 sind die Lösungen x₁,₂ = ±√(−c/a), für −c/a = 0 ist x = 0 eine doppelte Lösung, und für −c/a < 0 gibt es keine reellen Lösungen. Bei fehlendem konstanten Glied gilt ax² + bx = 0. Aus x(ax + b) = 0 folgen unmittelbar x₁ = 0 und x₂ = −b/a.

In der Scheitelpunktform a(x − d)² + e = 0 erhält man (x − d)² = −e/a und bei −e/a > 0 die Lösungen x₁ = d + √(−e/a) und x₂ = d − √(−e/a).

Linearfaktoren, Vieta und Beispiele

Sind x₁ und x₂ die Lösungen, kann ein quadratisches Polynom in Linearfaktoren zerlegt werden: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂) und ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Der Satz von Vieta beschreibt für die Normalform die Beziehungen x₁ + x₂ = −p und x₁·x₂ = q. Besonders bei ganzzahligen p und q können passende Teilerpaare von q gesucht werden, deren Summe −p ist. Bei x² + 4x + 3 = 0 sind dies −1 und −3, denn (−1) + (−3) = −4 und (−1)(−3) = 3.

Beispiel für quadratische Ergänzung: Aus 3x² − 15x + 18 = 0 wird nach Division durch 3 zunächst x² − 5x + 6 = 0. Nach Umformung und Ergänzung folgt (x − 5/2)² = 1/4. Daher ist x − 5/2 = ±1/2, also x₁ = 3 und x₂ = 2.

Für 4x² − 12x − 40 = 0 liefert die a-b-c-Formel x₁ = −2 und x₂ = 5. Nach Division durch 4 entsteht die Normalform x² − 3x − 10 = 0, die mit der p-q-Formel oder mit Vieta zu denselben Lösungen führt.

Grafisch können die Nullstellen einer Normalform auch konstruiert werden. Beim Carlyle-Kreis zeichnet man einen Kreis mit Mittelpunkt M = (−p/2 | (q + 1)/2), der durch A(0 | 1) geht; seine Schnittpunkte mit der x-Achse sind, sofern vorhanden, die reellen Lösungen. Für numerische Berechnungen bei sehr unterschiedlich großen Lösungen kann Auslöschung vermieden werden durch x₁ = −p/2 − sgn(p)·√((p/2)² − q) und x₂ = q/x₁, wobei sgn(p) für p < 0 den Wert −1 und sonst 1 hat.

Verallgemeinerung in anderen Zahlbereichen

In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 höchstens zwei Lösungen. In beliebigen Ringen kann sie dagegen mehr als zwei Lösungen haben. Im Restklassenring ℤ/8ℤ besitzt x² − 1 = 0 beispielsweise die vier Lösungen 1 + 8ℤ, 3 + 8ℤ, 5 + 8ℤ und 7 + 8ℤ.

In kommutativen Ringen kann die p-q-Formel verwendet werden, wenn die Charakteristik des Rings ungleich 2 ist; dabei müssen alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante berücksichtigt werden. In einem endlichen Körper der Charakteristik 2 wird stattdessen ein Ansatz für x gewählt, der zu einem linearen Gleichungssystem für seine Koeffizienten führt.