Produkt (Mathematik)

Grundidee und Zahlenprodukte

Ein Produkt ist sowohl das Ergebnis einer Multiplikation als auch ein Term, der eine Multiplikation darstellt. Die miteinander verknüpften Elemente heißen Faktoren. Allgemein ist eine Multiplikation eine Abbildung ·: A × B → C. Für a ∈ A und b ∈ B schreibt man das Ergebnis c ∈ C als c = a·b oder kurz c = ab. Der Produktbegriff beschränkt sich nicht auf Zahlen, sondern tritt in vielen mathematischen Strukturen auf.

Bei Zahlen gilt meist A = B = C: Das Produkt zweier Zahlen gehört wieder zum selben Zahlenbereich. Außerdem ist die Multiplikation assoziativ: (a·b)·c = a·(b·c). Bei natürlichen Zahlen kann r·s als wiederholte Addition und als Anzahl von Spielsteinen in einem Rechteck mit r Reihen und s Steinen je Reihe verstanden werden: r·s = ∑{i=1}^{s} r = ∑{j=1}^{r} s. Das Vertauschen von Reihen und Spalten veranschaulicht die Kommutativität r·s = s·r. Enthält ein Produkt den Faktor 0, ist sein Wert 0. Zählt man 0 zu den natürlichen Zahlen, bilden sie einen Halbring, aber keinen Ring, weil additive Inverse fehlen; beispielsweise gibt es keine natürliche Zahl x mit 3 + x = 0.

Durch Ergänzen der negativen Zahlen entsteht der Ring ℤ. Bei der Multiplikation ganzer Zahlen werden die Beträge multipliziert. Für die Vorzeichen gilt: Minus mal Minus und Plus mal Plus ergeben Plus; Minus mal Plus und Plus mal Minus ergeben Minus.

Die rationalen Zahlen ℚ ermöglichen die Division durch jede von 0 verschiedene Zahl. Brüche werden ohne Hauptnenner multipliziert: (z/n)·(z′/n′) = (z·z′)/(n·n′). Das Ergebnis kann anschließend gekürzt werden. Die reellen Zahlen ℝ schließen unter anderem die durch √2 und π sichtbaren Lücken der rationalen Zahlen. Ihr Produkt lässt sich über immer genauere rationale Näherungen verstehen; so führen Näherungen von √2 = 1,4142… und π = 3,1415… zum Produkt √2·π = 4,4428….

Komplexe Zahlen, Quaternionen und geometrische Bedeutung

Die komplexen Zahlen ℂ erweitern ℝ um i = √−1 mit i² = −1 und ermöglichen damit Lösungen von Gleichungen wie x² = −1. Zwei komplexe Zahlen werden nach dem Distributivgesetz multipliziert: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

In Polarkoordinaten hat eine komplexe Zahl die Form a + bi = r(cos φ + i sin φ) = r·e^{iφ}. Für c + di = s(cos ψ + i sin ψ) folgt (a + bi)(c + di) = rs(cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)) = rs·e^{i(φ+ψ)}. Geometrisch werden bei der komplexen Multiplikation also die Längen r und s multipliziert und die Winkel φ und ψ addiert.

Eine weitere algebraische Erweiterung sind die hamiltonschen Quaternionen ℍ, die einen reell vierdimensionalen Raum bilden. Anders als in den zuvor genannten Zahlbereichen ist ihre Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ: a·b und b·a können verschieden sein.

Produkte in Ringen und bei Funktionen

Für eine ganze Zahl N > 2 fasst der Restklassenring ℤ/Nℤ Zahlen mit demselben Rest bei Division durch N zusammen. Er besitzt genau N Elemente. Ein Element a + Nℤ bezeichnet alle ganzen Zahlen mit demselben Rest wie a. Addition und Multiplikation sind definiert durch (a + Nℤ) + (b + Nℤ) := a + b + Nℤ, (a + Nℤ)·(b + Nℤ) := ab + Nℤ. Genau dann, wenn N eine Primzahl ist, ist dieser Ring sogar ein Körper. Modulo 5 sind beispielsweise die Restklassen von 2 und 3 multiplikativ invers, weil 2·3 = 6 modulo 5 gleich 1 ist. Multiplikative Inverse modulo N lassen sich mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen.

Ist R ein kommutativer Ring und M eine Menge, so bildet die Menge F := R^M aller Funktionen M → R ebenfalls einen kommutativen Ring. Addition und Multiplikation erfolgen punktweise: (f + g)(m) := f(m) + g(m) und (f·g)(m) := f(m)·g(m). Für R = ℝ bilden etwa die stetigen beziehungsweise differenzierbaren Funktionen auf einer offenen Teilmenge von ℝ oder ℝⁿ Unterringe dieses Funktionenrings.

Für integrierbare Funktionen f,g: ℝ → ℝ mit ∫{−∞}^{∞}|f(t)|dt < ∞ und ∫{−∞}^{∞}|g(t)|dt < ∞ ist das Faltungsprodukt oder die Konvolution definiert durch (fg)(t) := ∫_{−∞}^{∞} f(τ)·g(t−τ)dτ. Die Funktion fg besitzt ebenfalls ein endliches Betragsintegral, und es gilt fg = gf. Nach der Fourier-Transformation entspricht die Faltung bis auf einen konstanten Normierungsfaktor dem punktweisen Produkt. Sie ist besonders für die mathematische Signalverarbeitung wichtig. Die Faltung einer Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt eine Dreiecksfunktion; die gaußsche Glockenkurve wird bei Selbstfaltung lediglich breiter, eine Eigenschaft, die dem zentralen Grenzwertsatz zugrunde liegt.

Im Polynomring ℝ[X] gilt (∑{i=0}^{n} a_iX^i)(∑{j=0}^{m} b_jX^j) = ∑{k=0}^{n+m} c_kX^k, wobei c_k = ∑{i+j=k} a_i b_j. Die komplexen Zahlen können formal als Faktorring ℝ[X]/(X²+1) beschrieben werden. Bei absolut konvergenten Reihen und formalen Potenzreihen wird die entsprechende Multiplikation zum Cauchy-Produkt.

Produkte von Vektoren und Matrizen

In einem reellen Vektorraum V ist zunächst die Skalarmultiplikation ℝ × V → V zu unterscheiden vom Skalarprodukt. Die Skalarmultiplikation streckt einen Vektor um einen reellen Faktor; ein negativer Faktor kehrt zusätzlich seine Richtung um.

Ein Skalarprodukt ist dagegen eine bilineare Abbildung ·: V × V → ℝ mit v·v > 0 für jeden Vektor v ≠ 0. Es definiert die Norm oder Länge ‖v‖ := √(v·v) und den Winkel zwischen v,w ≠ 0 durch cos ∠(v,w) = (v·w)/(‖v‖·‖w‖). Bezüglich einer Orthonormalbasis e₁,…,eₙ erhält man das Standardskalarprodukt (∑{i=1}^{n} α_i e_i)·(∑{i=1}^{n} β_i e_i) = ∑_{i=1}^{n} α_iβ_i.

Im dreidimensionalen Raum ℝ³ gibt es das Kreuzprodukt ×: ℝ³ × ℝ³ → ℝ³. Es ist antikommutativ: v×w = −w×v; insbesondere gilt v×v = 0. Das ebenfalls nur in ℝ³ erklärte Spatprodukt verarbeitet drei Vektoren. Es entspricht der Determinante dreier nebeneinander geschriebener Spaltenvektoren, kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden und misst anschaulich das Volumen eines Spates.

Für Matrizen A = (a_{i,j}) ∈ ℝ^{s×r} und B = (b_{j,k}) ∈ ℝ^{r×t} ist das Produkt definiert, weil die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht: A·B = (∑{j=1}^{r} a{i,j}b_{j,k}) ∈ ℝ^{s×t}. Quadratische r×r-Matrizen bilden damit den Matrizenring ℝ^{r×r}. Sind f: U → V und g: V → W linear, ist auch ihre Komposition g∘f: U → W, u ↦ g(f(u)), linear. Das Matrizenprodukt beschreibt diese Komposition in Koordinaten: Sind A und B die darstellenden Matrizen von f und g bezüglich gewählter Basen, dann ist B·A die darstellende Matrix von g∘f.

Tensor- und Mengenprodukte

Das Tensorprodukt V⊗W zweier reeller Vektorräume wird durch eine universelle Eigenschaft für bilineare Abbildungen bestimmt. Zur kanonischen bilinearen Abbildung (v,w) ↦ v⊗w gilt: Jedes bilineare Produkt B: V × W → Y in einen Vektorraum Y entsteht durch eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung B̃: V⊗W → Y. Das Tensorprodukt ist damit eine gemeinsame Grundlage für alle bilinearen Produkte auf V und W, aber nicht das kategorielle Produkt in der Kategorie der reellen Vektorräume.

Der Raum Hom(V,W) aller linearen Abbildungen von V nach W lässt sich natürlich mit V*⊗W identifizieren, wobei V* der Dualraum ist. Ein zerlegbarer Tensor f⊗w bestimmt die lineare Abbildung g(v) = f(v)·w. Nicht jeder Tensor ist zerlegbar; jeder Tensor ist jedoch eine Summe zerlegbarer Tensoren. Entsprechend lässt sich jede lineare Abbildung als Summe solcher Abbildungen darstellen. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ist daher ein einfach kontravarianter und einfach kovarianter Tensor.

Das kartesische Produkt M×N besteht aus geordneten Paaren von Elementen aus M und N. Es verbindet Mengen- und Zahlenprodukt: Das Produkt m·n natürlicher Zahlen ist die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts einer m-elementigen und einer n-elementigen Menge. Außerdem ist das kartesische Produkt das kategorielle Produkt in der Kategorie der Mengen.

Endliche und unendliche Produkte

Produkte mit vielen Faktoren werden mit dem Produktzeichen ∏ geschrieben. Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist n! = 1·2·…·(n−1)·n = ∏_{k=1}^{n} k und zählt die Anordnungen von n unterscheidbaren Objekten. Wegen der Kommutativität kann bei natürlichen Zahlen auch über eine Indexmenge ohne festgelegte Reihenfolge multipliziert werden. Das leere Produkt hat den Wert 1, also das neutrale Element der Multiplikation; entsprechend hat die leere Summe den Wert 0.

Ein unendliches Produkt wird über seine endlichen Teilprodukte definiert. Beim 1655 von John Wallis entdeckten Wallisschen Produkt gilt beispielsweise π/2 = ∏{k=1}^{∞} ((2k)(2k))/((2k−1)(2k+1)). Dazu betrachtet man P_n := ∏{k=1}^{n} ((2k)(2k))/((2k−1)(2k+1)); konvergiert P_n gegen P, wird das unendliche Produkt als P definiert.

Allgemein heißt ∏{n=1}^{∞} a_n konvergent, wenn erstens fast alle a_n von 0 verschieden sind, also ein n₀ existiert mit a_n ≠ 0 für alle n > n₀, zweitens der Grenzwert lim{N→∞}∏{n=n₀+1}^{N}a_n existiert und drittens dieser Grenzwert nicht 0 ist. Dann setzt man ∏{n=1}^{∞}a_n := lim_{N→∞}∏_{n=1}^{N}a_n. Ein konvergentes unendliches Produkt ist genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Außerdem müssen seine Faktoren gegen 1 konvergieren; dies ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Das Kernreihenkriterium besagt für Produkte ∏{k=1}^{∞}a_k = ∏{k=1}^{∞}(1+h_k) mit positiven Kernen h_k: Das Produkt konvergiert genau dann absolut, wenn die Kernreihe ∑_{n=1}^{∞}h_n absolut konvergiert.

Mehrere Beispiele zeigen die Bedeutung der Bedingungen. Bei ∏{n=1}^{∞}0 sind unendlich viele Faktoren 0. Bei ∏{n=1}^{∞}(n−1) divergieren die Teilprodukte nach Weglassen des ersten, nullwertigen Faktors gegen +∞. Bei ∏{n=1}^{∞}1/n gehen die Teilprodukte gegen 0, weshalb die geforderte Nichtnullbedingung verletzt ist. Schließlich gehen bei ∏{n=1}^{∞}(1+1/n) die Faktoren zwar gegen 1, doch das Produkt der ersten N Faktoren ist N+1 und konvergiert daher nicht.