Quadrat

Definition und grundlegende Einordnung

Ein Quadrat ist in der ebenen Geometrie ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Es ist damit ein regelmäßiges Viereck. Zugleich ist es ein Sonderfall mehrerer Viereckstypen: Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck. Zur eindeutigen Konstruktion genügt eine einzige Größenangabe, beispielsweise die Seitenlänge a oder die Diagonalenlänge d.

Das Quadrat kann auch durch gleichwertige Merkmalskombinationen charakterisiert werden, etwa als Rechteck mit zwei gleich langen benachbarten Seiten, als Raute mit einem rechten Winkel oder als Viereck mit gleich langen, senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen, die einander halbieren.

Als räumlicher Bezug erscheint das Quadrat als Seitenfläche des Würfels, des einzigen platonischen Körpers mit quadratischen Flächen. Es ist außerdem die Grundform des Quadratgitters, einer platonischen Parkettierung. In höherdimensionaler Sicht ist es sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften und Formeln

Alle vier Seiten sind gleich lang und alle vier Innenwinkel betragen 90°. Die beiden Diagonalen sind gleich lang, stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig. Ihr Schnittpunkt ist zugleich Symmetriezentrum sowie Mittelpunkt des Umkreises und des Inkreises. Das Quadrat ist deshalb sowohl Sehnenviereck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen, als auch Tangentenviereck, dessen Seiten einen Kreis berühren. Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises.

Das Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Mittelsenkrechten gegenüberliegender Seiten. Es ist vierzählig drehsymmetrisch, also bei Drehungen um 90°, 180°, 270° und 360° mit sich selbst deckungsgleich, und damit auch punktsymmetrisch. Seine Symmetriegruppe ist die Diedergruppe D₄.

Für Seitenlänge a, Diagonale d, Flächeninhalt A, Umfang U, Inkreisradius rᵢ und Umkreisradius rᵤ gelten:

• A = a² = d²/2 • U = 4a • d = a√2 = 2rᵤ • rᵢ = a/2 = d/(2√2) • rᵤ = a/√2 = d/2 • α = β = γ = δ = 90°

Konstruktionen

Ein Quadrat ist mit Zirkel und Lineal, aber auch nur mit dem Zirkel konstruierbar.

Bei gegebener Seite AB der Länge a werden zunächst um A und B Kreisbögen mit Radius a geschlagen. Aus ihrem Schnittpunkt M, einer Geraden durch B und M und einem Thaleskreis um M durch B entsteht ein Hilfspunkt E. Die Gerade AE schneidet den Kreisbogen um A in der Ecke D. Ein weiterer Kreisbogen um D mit Radius a schneidet den Bogen um B in C. Das Verbinden von A, B, C und D ergibt das Quadrat. Diese Konstruktion benötigt nur eine Zirkeleinstellung mit Radius a.

Bei gegebener Diagonale AC konstruiert man deren Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt mit AC ist der Mittelpunkt M. Ein Kreis um M durch A schneidet die Mittelsenkrechte in den fehlenden Ecken B und D. Anschließend werden A, B, C und D der Reihe nach verbunden.

Für eine Konstruktion nur mit dem Zirkel beginnt man mit einem Kreis um M und einem Punkt A auf diesem Kreis. Durch mehrere Kreisbögen mit den Radien AM, AC und ME werden nacheinander Hilfspunkte B, C, D und E sowie die Eckpunkte F und G des virtuellen Quadrats AGDF bestimmt.

Geometrische Zusammenhänge und Folgen

Verbindet man in einem Quadrat jede Ecke geradlinig mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite, entsteht ein inneres Quadrat. Dessen Flächeninhalt beträgt genau ein Fünftel des Flächeninhalts des Ausgangsquadrats. Dies lässt sich zeigen, indem kongruente rechtwinklige Teildreiecke so umgeordnet werden, dass eine kreuzförmige Figur aus fünf kongruenten Quadraten entsteht.

Berühren sich zwei Quadrate in einer Ecke, entstehen zusammen mit Verbindungsstrecken sogenannte Flankendreiecke. Die beiden Flankendreiecke sind flächengleich. Algebraisch folgt dies aus α = 180° − β und damit sin α = sin β sowie der Dreiecksformel A = ab·sin(α)/2. Geometrisch zeigt eine Drehung um 90°, dass eine Seite und die zugehörige Höhe übereinstimmen. Außerdem liegen die Höhe des einen und die Seitenhalbierende des anderen Flankendreiecks auf einer gemeinsamen Transversalen, also einer Geraden, die beide Dreiecke durchläuft.

In einer um drei Quadrate erweiterten Vecten-Figur ist die Flächeninhaltssumme der drei äußeren Quadrate dreimal so groß wie diejenige der drei inneren Quadrate: d² + e² + f² = 3(a² + b² + c²). Der Beweis verwendet den Kosinussatz und unter anderem d² = 2b² + 2c² − a² sowie die beiden entsprechenden zyklischen Gleichungen.

Sind einem Kreis und einem Halbkreis gleichen Radius jeweils Quadrate einbeschrieben, besitzt das größere Quadrat den 2,5-fachen Flächeninhalt des kleineren. In der angegebenen Beweisfigur hat das kleinere Quadrat den Flächeninhalt 4. Für das größere ergibt der Satz des Pythagoras die Seitenlänge √(3² + 1²) = √10 und damit den Flächeninhalt 10; folglich gilt 10 : 4 = 2,5.

Für den vollständig oberhalb der x-Achse liegenden Graphen y = sin(x) + c mit c > 1 gilt ebenfalls eine Flächeninvarianz. Liegt P beliebig auf dem Graphen und liegen Q und R links beziehungsweise rechts davon, wobei ihre x-Koordinaten den Abstand π haben, dann ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über PQ und PR stets π²/2 + 2 ≈ 6,93. Der Nachweis nutzt den Satz des Pythagoras und die Additionstheoreme.

Bei einer unendlichen Folge ineinander liegender Quadrate halbiert jeder Eckpunkt des folgenden Quadrats eine Seite des vorherigen. Für ein Ausgangsquadrat der Seitenlänge 1 entsteht eine Linienspirale mit der Gesamtlänge 1 + √2/2; sie entspricht der Seitenlänge zuzüglich der halben Diagonalenlänge. Die zugrunde liegende geometrische Folge lautet aₙ = (1/√2)^(n+1). Die Flächenspirale beruht auf Aₙ = (1/2)^(n+2) und hat die Summe A = 1/4 des Ausgangsquadrats.

Parkettierungen, Körper und verallgemeinerte Quadrate

Quadrate kommen in periodischen, dreh- und translationssymmetrischen Parkettierungen aus regelmäßigen Polygonen vor. Dazu gehören das Quadratgitter sowie die Anordnungen 3-3-3-4-4, 3-3-4-3-4, 3-4-6-4, 4-8-8 und 4-6-12. Die Zahlen nennen jeweils die Eckenzahlen der regelmäßigen Polygone, die an einem Punkt zusammentreffen; ihre Innenwinkel ergeben dort zusammen 360°.

Neben dem Würfel enthalten auch archimedische Körper Quadrate, beispielsweise Kuboktaeder, Oktaederstumpf, Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder.

In nichteuklidischen Geometrien bezeichnet ein Quadrat allgemein ein Polygon mit vier gleich langen Seiten und gleichen Innenwinkeln. In der sphärischen Geometrie verlaufen seine Seiten auf Großkreisen. Seine Winkel sind größer als 90° und wachsen mit der Größe des Quadrats. Beispiele besitzen Innenwinkel von 120° oder sogar 180°. In der hyperbolischen Geometrie gibt es dagegen keine Quadrate mit rechten Winkeln: Ihre Winkel sind kleiner als 90° und werden bei größeren Quadraten kleiner; als Beispiel wird 72° genannt. In der euklidischen Ebene beträgt der Innenwinkel 90°. In der affinen synthetischen Geometrie kann eine der in der elementaren Geometrie gleichwertigen Charakterisierungen als Definition verwendet werden; in präeuklidischen Ebenen kann die Existenz solcher Figuren ein zusätzliches Axiom erfordern.

Weitere Bedeutungen und klassische Aufgaben

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema aus n Zeilen und n Spalten mit n verschiedenen Symbolen. Jedes Symbol erscheint in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal. Die natürliche Zahl n heißt Ordnung des lateinischen Quadrats.

Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ordnet die natürlichen Zahlen 1, 2, …, n² quadratisch an. Die Summen in sämtlichen Zeilen, sämtlichen Spalten und den beiden Diagonalen sind gleich. Diese gemeinsame Summe heißt magische Zahl.

Bei der Quadratur des Quadrates wird ein Quadrat mit kleineren Quadraten ganzzahliger Seitenlängen parkettiert. Sind alle Teilquadrate verschieden groß, heißt die Quadratur perfekt. Bildet keine Teilmenge der Teilquadrate ein Rechteck, heißt sie einfach; andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die geringstmögliche Ordnung einer einfachen perfekten Quadratur beträgt 21.

Die Quadratur des Kreises verlangt, aus einem Kreis in endlich vielen Schritten ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren. Sie ist gleichwertig zur Rektifikation des Kreises, also zur Konstruktion einer Strecke von der Länge des Kreisumfangs, und damit zur Konstruktion der Zahl π aus einer Einheitsstrecke. Mit Zirkel und Lineal ist dies wegen der Transzendenz von π unmöglich; Ferdinand von Lindemann bewies dies 1882.

Beim Satz von Haga wird ein Quadrat so gefaltet, dass drei paarweise ähnliche rechtwinklige Dreiecke entstehen. Für jedes gilt das Seitenverhältnis kleinere Kathete : größere Kathete : Hypotenuse = 3 : 4 : 5. Damit erzeugt die Faltung geometrisch das kleinste pythagoreische Tripel.