Elementare Algebra

Grundidee der elementaren Algebra

Die elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra. Sie erweitert die Arithmetik: Neben Zahlen und Grundrechenarten verwendet sie Variablen. Dadurch lassen sich allgemeine Gesetzmäßigkeiten, Gleichungen, Ungleichungen und funktionale Abhängigkeiten übersichtlich darstellen. Anders als die abstrakte Algebra untersucht sie keine algebraischen Strukturen wie Vektorräume.

Variablen sind Zeichen, meist Buchstaben, die für Zahlen aus einer festgelegten Menge stehen. Mit ihnen können etwa das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz allgemein formuliert werden. Welche Werte eine Variable annehmen darf, wird durch ihre Grundmenge oder Definitionsmenge bestimmt.

Variablen und Abhängigkeiten

Eine Variable ermöglicht es, viele einzelne Fälle durch einen einzigen mathematischen Ausdruck zu erfassen. Bei Gleichungen hängt die Lösbarkeit von der Definitionsmenge ab. Die Gleichung 3x + 2 = 10 besitzt in der Menge der rationalen Zahlen genau die Lösung x = 8/3. Wird dieser Wert eingesetzt, entsteht eine wahre Aussage; alle anderen rationalen Werte ergeben falsche Aussagen. Sind dagegen nur ganze Zahlen zugelassen, hat die Gleichung keine Lösung.

Variablen beschreiben außerdem funktionale Abhängigkeiten. Werden x Eintrittskarten für jeweils 3 € verkauft und betragen die Fixkosten 10 €, so ist der Gewinn in Euro durch 3x − 10 gegeben. Der Wert des Gewinns hängt also von der Anzahl x der verkauften Karten ab.

Terme und Termumformungen

Ein Term ist anschaulich eine sinnvolle mathematische Zeichenreihe. In der Algebra besteht er aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Klammern als Hilfszeichen. Zu den Operationen gehören die vier Grundrechenarten, das Potenzieren, das Radizieren oder Wurzelziehen sowie das Logarithmieren. Ein Beispiel ist x² − 4.

Werden alle Variablen eines Terms durch Elemente der Grundmenge ersetzt, ergibt sich eine Zahl, sofern die Operationen zulässig sind. Dabei gelten wichtige Einschränkungen: Durch 0 darf nicht dividiert werden, beim Wurzelziehen dürfen nur nichtnegative Radikanden auftreten, und Argumente von Logarithmen müssen positiv sein.

Die Reihenfolge der Berechnung wird durch Vorrangregeln festgelegt. Dazu gehören „Punktrechnung vor Strichrechnung“ und die Regel, Klammern zuerst auszurechnen.

Termumformungen werden besonders zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen benötigt. Dabei wird ein Term durch einen äquivalenten Term ersetzt, also durch einen Ausdruck mit demselben Wert bei allen zulässigen Einsetzungen. Beispielsweise sind 4(2a − 3) − a und 7a − 12 äquivalent. Wichtige Grundlagen solcher Umformungen sind das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation, das Distributivgesetz beziehungsweise die Klammerregeln, die binomischen Formeln, die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze.

Gleichungen, Ungleichungen und Lösungen

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen; bei einer Ungleichung steht zwischen den Termen ein Ungleichheitszeichen. Enthalten beide Terme keine Variablen, handelt es sich um eine Aussage, andernfalls um eine Aussageform. Die zulässigen Werte der Variablen bilden die Grundmenge oder Definitionsmenge. Werte, durch deren Einsetzung eine wahre Aussage entsteht, heißen Lösungen. Ihre Gesamtheit ist die Lösungsmenge L.

Die Gleichung x² − 4 = 0 ist genau für x = −2 und x = 2 erfüllt. Daher gilt L = {−2; 2}. Eine Gleichung, die bei jeder zulässigen Einsetzung wahr ist, heißt allgemeingültig. Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz a + (b + c) = (a + b) + c.

Die wichtigste Lösungsmethode sind Äquivalenzumformungen. Sie verändern die Lösungsmenge nicht. Dazu zählen das Ersetzen eines Terms durch einen äquivalenten Term sowie das Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl beziehungsweise desselben Terms auf beiden Seiten. Beide Seiten dürfen außerdem mit demselben Term multipliziert oder durch ihn dividiert werden, wenn dieser bei keiner zulässigen Einsetzung 0 wird. Bei Ungleichungen muss die Richtung des Ungleichheitszeichens umgekehrt werden, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie dividiert wird.

Logarithmieren ist eine Äquivalenzumformung, sofern alle beteiligten Terme bei sämtlichen zulässigen Einsetzungen positiv sind. Bei Ungleichungen kann dabei eine Fallunterscheidung zwischen Termwerten größer als 1 und Termwerten kleiner oder gleich 1 nötig sein. Beim Wurzelziehen auf beiden Seiten einer Gleichung entsteht als äquivalente Aussageform eine Disjunktion, also eine Oder-Verknüpfung zweier Gleichungen. So ist x² − 4 = 0 äquivalent zu x = 2 ∨ x = −2. Das Quadrieren beim Lösen von Wurzelgleichungen ist dagegen keine Äquivalenzumformung.

Für quadratische Ungleichungen mit a ∈ ℝ und a > 0 gelten die Regeln: x² > a genau dann, wenn x > √a oder x < −√a; x² < a genau dann, wenn −√a < x < √a.

Zur elementaren Algebra gehören lineare Gleichungen und Gleichungssysteme, quadratische Gleichungen, einfache kubische Gleichungen, biquadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, einfache Exponential- und Logarithmengleichungen sowie die zugehörigen Ungleichungen. Graphikfähige Taschenrechner und besonders Taschenrechner mit Computer-Algebra-System können Lösungsmengen visualisieren und komplizierte Termumformungen teilweise ersetzen.

Zusammenhänge durch Gleichungen beschreiben

Algebraische Gleichungen können Zusammenhänge zwischen Größen allgemein ausdrücken. Kostet eine Ware netto 140 € und beträgt die Mehrwertsteuer 19 %, erhält man den Bruttopreis, indem man zum Nettopreis 19 % des Nettopreises addiert.

Mit den Variablen B für den Bruttopreis und N für den Nettopreis lautet der Zusammenhang B = N + 19 % von N. Äquivalent dazu ist B = 1,19 · N. Diese Gleichung gilt nicht nur für den Nettopreis 140 €, sondern beschreibt für alle möglichen Nettopreise N den jeweils zugehörigen Bruttopreis B.