Beschränktes Wachstum

Kernidee

Beschränktes Wachstum, auch begrenztes Wachstum genannt, bezeichnet in der Mathematik ein Wachstum, das durch eine natürliche Schranke begrenzt ist. Diese Schranke heißt auch Kapazitätsgrenze, Sättigungsgrenze oder Sättigungswert. Sie ist ein Grenzwert, den die betrachtete Bestandsgröße theoretisch nicht überschreiten kann. Beschränktes Wachstum kann nach oben verlaufen, etwa wenn ein Bestand zunimmt, aber nur bis zu einer oberen Grenze. Es kann auch nach unten verlaufen; dann spricht man von beschränkter Schrumpfung.

Die Grundidee ist: Die Änderungsrate ist nicht konstant, sondern hängt davon ab, wie weit der Bestand noch von der Schranke entfernt ist. Dieser Abstand heißt Sättigungsmanko, Restbestand oder Sättigungsdefizit und wird als S - B(t) beschrieben. Je kleiner dieser Fehlbetrag wird, desto langsamer wächst oder schrumpft der Bestand. Das Sättigungsmanko nimmt exponentiell ab, und der Bestand ergibt sich aus der Differenz zwischen Sättigungsgrenze und Sättigungsmanko.

Begriffe und kontinuierliches Modell

Die wichtigste Notation lautet: t bezeichnet die Zeit. B ist die betrachtete Bestandsgröße. B(0) = B0 ist der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0. S bezeichnet die natürliche Schranke und bildet die Asymptote der Wachstumsfunktion. k ist die Wachstumskonstante. B' gibt die Wachstumsgeschwindigkeit beziehungsweise Wachstumsrate an.

Für das kontinuierliche, also stetige Modell wird eine Differentialgleichung verwendet. Sie beschreibt, wie sich der Bestand in jedem Zeitpunkt ändert. Die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum lautet:

B'(t) = dB/dt = k(S - B(t)).

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Sie kann mit der Methode der Variablentrennung gelöst werden.

Wachstumsfunktion und Verlauf

Die spezielle Lösung der Differentialgleichung ist die explizite Darstellung, also die Wachstumsfunktion. Für beschränktes Wachstum lautet sie:

B(t) = S - (S - B0)e^(-kt).

Das Wachstum ist degressiv: Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab. Das passt zur Modellidee, weil der Abstand zur Schranke immer kleiner wird.

Beim nach oben beschränkten Wachstum gilt S > B0. Der Bestand steigt streng monoton, nähert sich also immer weiter der Schranke S an, ohne sie theoretisch zu überschreiten. Der Graph beschreibt eine Rechtskurve.

Beim nach unten beschränkten Wachstum gilt S < B0. Der Bestand fällt streng monoton und nähert sich der unteren Schranke S an. Der Graph beschreibt eine Linkskurve.

Ein Sonderfall ist S = 0. Dann wird aus der Wachstumsfunktion:

B(t) = B0e^(-kt).

In diesem Fall fällt die Schranke mit der x-Achse, also der Abszisse, zusammen. Das entspricht dem klassischen Fall einer exponentiellen Abnahme.

Diskretes Modell

Neben dem kontinuierlichen Modell gibt es ein diskretes Modell. Es beschreibt Bestände nicht für jeden Zeitpunkt, sondern für einzelne Zeitpunkte einer Folge, zum Beispiel t0, t1, t2 und so weiter. Dazu verwendet man rekursive Darstellungen, also Formeln, mit denen man aus einem bekannten Bestand Bn den nächsten Bestand Bn+1 berechnet.

Bei der exakten Diskretisierung gilt zunächst:

Bn = S - (S - B0)e^(-k Delta t · n).

Daraus folgt die Rekursionsformel:

B(n+1) = Bn e^(-k Delta t) + S(1 - e^(-k Delta t)).

Dabei bezeichnet Delta t eine äquidistante Folge von Zeitpunkten, also gleich große Zeitabstände. Bn = B0, B1, B2, ... sind die zugehörigen Bestandsgrößen.

Eine genäherte Diskretisierung erhält man mit dem expliziten Eulerverfahren:

B(n+1) = Bn + k Delta t(S - Bn).

Dazu gehört:

Bn = B0(1 - k Delta t)^n - S(1 - k Delta t)^n + S.

Der Vergleich der exakten und der genäherten Darstellung zeigt durch Koeffizientenvergleich, dass beide Formeln nicht identisch sind. Mithilfe der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion

e^(-k Delta t) = 1 + (-k Delta t)/1! + (-k Delta t)^2/2! + ...

sieht man aber, dass beide Darstellungen bis auf Terme höherer als 1. Ordnung übereinstimmen.

Logistische Variante

Neben dem klassischen beschränkten Wachstum gibt es beschränktes logistisches Wachstum. Auch dieses Wachstum ist nach oben hin beschränkt und kann durch eine logistische Funktion beschrieben werden.

Der Unterschied liegt in der Änderungsrate. Beim klassischen Modell ist B'(t) proportional zum Sättigungsmanko S - B(t). Beim logistischen Modell ist B'(t) proportional zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko:

B(t) · (S - B(t)).

Damit hängt die Änderungsrate sowohl vom bereits vorhandenen Bestand als auch vom noch verbleibenden Abstand zur Sättigungsgrenze ab.

Typische Beispiele

Ein Beispiel für nach oben beschränktes Wachstum ist die Erwärmung eines Kaltgetränks. Liegt seine Temperatur unterhalb der Umgebungstemperatur, erwärmt es sich bis zur Umgebungstemperatur. Diese bildet die obere Grenze.

Auch der Verkauf von Telefonanschlüssen an einem festen Ort ist nach oben beschränkt: Wenn alle Einwohner einen Telefonanschluss besitzen, ist die obere Grenze erreicht.

Bei der Medikamenteneinnahme baut sich zu Beginn ein Wirkstoffniveau auf. Bei kontinuierlicher Medikation beschreibt dieses Niveau eine obere Grenze.

Bei der Ausbreitung einer Population in einem begrenzten Raum wächst die Population nicht unbegrenzt weiter. Begrenzte Ressourcen wie Futter, Sauerstoff und Platz führen zu einer natürlichen Grenze.

Ein Beispiel für nach unten beschränktes Wachstum ist die Abkühlung eines Heißgetränks. Liegt seine Temperatur oberhalb der Umgebungstemperatur, kühlt es sich bis auf die Umgebungstemperatur ab. Diese bildet die untere Grenze.