Asymptote

Was ist eine Asymptote?

Eine Asymptote ist in der Mathematik eine Kurve, häufig eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion im Unendlichen immer weiter annähert. Eine Sonderform ist der asymptotische Punkt, bei dem die Annäherung nicht im Unendlichen stattfindet. Vertikale Asymptoten lassen sich besonders nicht als Funktion beschreiben.

Wichtiger Hinweis zum Schneiden

Eine verbreitete Auffassung besagt, dass sich eine Funktion der Asymptote zwar nähert, sie aber niemals schneidet. Das stimmt nur für einen Teil der Funktionen. Es gibt Funktionen, die ihre Asymptote ein- oder mehrmals im Verlauf schneiden und sich ihr erst dann nähern, ohne sie nochmals zu schneiden. Andere Funktionen oszillieren um ihre Asymptote und schneiden sie dadurch unendlich oft.

Arten der Annäherung

Sei f: D → R die betrachtete Funktion, deren Definitionsbereich D eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, und f_a ihre Asymptote (Ausnahme: asymptotischer Punkt). Man unterscheidet zwei Arten der Annäherung:

Arten der Annäherung

• Horizontale Annäherung: Der waagerechte Abstand Δx zwischen Funktion und Asymptote geht gegen Null – in Richtung unendlich großer/kleiner y (vertikale gerade Asymptoten) oder in Richtung eines Punktes (asymptotischer Punkt).

Arten der Annäherung

• Vertikale Annäherung: Der senkrechte Abstand Δy zwischen Funktion f und Asymptote f_a geht gegen Null – in Richtung unendlich großer/kleiner x oder in Richtung eines Punktes (asymptotischer Punkt). Mathematisch: lim [f(x) − f_a(x)] = 0 für x → +∞ oder x → −∞. Dies gilt für horizontale und schiefe gerade Asymptoten sowie nichtgerade Asymptoten.

Gerade Asymptoten

Gerade Asymptoten lassen sich in drei Typen einteilen: vertikale, horizontale und schiefe.