Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Wachstumsrate
Als Wachstumsrate bezeichnet man die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum (einer Periode) oder auch, bei Betrachtung mehrerer Perioden, …
Inhalt4 Abschnitte
Grundbegriff und Berechnung
Die Wachstumsrate bezeichnet die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum oder, bei mehreren Zeiträumen, die mittlere relative Zunahme pro Zeitspanne. Sie zeigt also nicht nur, um welchen absoluten Betrag sich eine Größe verändert, sondern setzt die Veränderung ins Verhältnis zum Ausgangswert. Häufig wird exponentielles Wachstum angenommen. Dann verwendet man statt der Wachstumsrate p meist den Wachstumsfaktor q = 1 + p. Eine Wachstumsrate von 23 % entspricht p = 0,23 und damit dem Wachstumsfaktor q = 1,23.
Die diskrete Wachstumsrate p beschreibt die Änderung einer zeitabhängigen Größe A(t) zwischen den Zeitpunkten t₀ und t relativ zum Ausgangswert A(t₀):
p = [A(t) − A(t₀)] / A(t₀)
Wird der betrachtete Zeitraum immer weiter verkürzt und auf den Zeitpunkt t₀ zugespitzt, erhält man die stetige Wachstumsrate w. Sie gibt die momentane Änderung von A(t) zu diesem Zeitpunkt im Verhältnis zum dortigen Wert A(t₀) an:
w = 1/A(t₀) · dA/dt(t₀)
Für mehrere gleich lange Zeitspannen wird die mittlere diskrete Wachstumsrate mit dem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren berechnet:
Wachstumsrate(t₀, t) = [A(t)/A(t₀)]^(1/n) − 1
Dabei ist n = t − t₀ die Anzahl der Zeitspannen zwischen t₀ und t. A(t) bezeichnet die betrachtete Größe zum jeweiligen Zeitpunkt. Die Formel berücksichtigt damit das wiederholte Wachstum über mehrere Perioden.
Jährliche Wachstumsrate
Die jährliche Wachstumsrate, englisch Compound Annual Growth Rate und abgekürzt CAGR, ist eine wichtige Kennziffer für Investitionen, Marktentwicklungen und Umsätze in der Betriebswirtschaft und Volkswirtschaft. Sie beschreibt das durchschnittliche jährliche Wachstum einer Größe.
Zur Berechnung wird der aktuelle Wert durch den Ausgangswert geteilt. Anschließend zieht man die n-te Wurzel aus diesem Verhältnis; n ist die Anzahl der betrachteten Jahre. Die CAGR ist somit der konstante mittlere Prozentsatz, mit dem sich der Anfangswert einer Zeitreihe über die Berichtsjahre hypothetisch fortentwickeln müsste, damit am Ende der tatsächliche Endwert erreicht wird. Tatsächliche Schwankungen in den einzelnen Zwischenjahren werden dabei nicht berücksichtigt.
Die Formel lautet:
CAGR(t₀, t) = [A(t)/A(t₀)]^(1/n) − 1
Sie entspricht der allgemeinen Formel für die Wachstumsrate, wobei n bei der CAGR als Anzahl der Jahre angegeben wird.
Beispiel: Eine Firma erzielt 2004 einen Umsatz von 1.000.000 Euro. 2006 beträgt der Umsatz 1.210.000 Euro. Die Zahl der Zeiteinheiten ist n = 2006 − 2004 = 2.
CAGR(2004, 2006) = (1.210.000/1.000.000)^(1/2) − 1 = 0,1 = 10 %
Die jährliche Wachstumsrate beträgt daher 10 %. Durch zweimalige Multiplikation des Ausgangswerts mit dem Wachstumsfaktor 1,1 ergibt sich der Endwert: 1.000.000 · 1,1 · 1,1 = 1.210.000.
Wachstumsrate in der Biologie
Bei exponentiellem Wachstum ist in der Biologie die Geschwindigkeit der Veränderung der Zellmasse X zu jedem Zeitpunkt proportional zur vorhandenen Zellmasse. Die Proportionalitätskonstante heißt spezifische Wachstumsrate μ. Sie wird durch die Gleichung beschrieben:
dX/dt = μX
Dabei ist dX/dt die Veränderung der Zellmasse pro Zeit und X die Zellmasse. Die Gleichung bedeutet, dass eine größere vorhandene Zellmasse bei gleicher spezifischer Wachstumsrate auch zu einer größeren absoluten Veränderung führt.
Zur Beschreibung von Fermentationsprozessen werden außerdem die spezifische Produktbildungsrate und der spezifische Substratverbrauch als Kenngrößen verwendet.
Beziehung zur Wachstumskonstanten
Für das exponentielle Wachstum einer zeitabhängigen Größe A(t) kann eine Funktion mit einer ausdrücklich angegebenen Zins- oder Wachstumsperiode T verwendet werden:
A(t) = A₀ · (1 + p)^(t/T) = A₀ · q^(t/T) = A₀ · e^(rt/T)
Beispielsweise kann T = 1 Jahr sein. Die Periodendauer T lässt sich in die Wachstumskonstante λ umrechnen. Dann lautet die Darstellung:
A(t) = A₀ · e^(λt)
mit
λ = r/T = ln(q)/T = ln(1 + p)/T
Die Wachstumskonstante λ hat dasselbe Formelzeichen wie die Wellenlänge und die Dimension einer Frequenz. Der Zahlenwert von r, das ebenfalls als Wachstumskonstante, häufig mit dem Symbol k, oder als Rate bezeichnet wird, ist in der Regel gleich oder eng mit λ verbunden, abhängig von der gewählten Zeiteinheit. Für kleine Prozentsätze unter 10 % ist r näherungsweise gleich der Wachstumsrate p:
r = ln(1 + p) ≈ p, falls |p| < 0,1.
