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Beschränktes Wachstum mit e-Funktion – Textaufgaben
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 85 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich folgende Aufgabe zum beschränkten Wachstum mit euch durchgehen aus der Gefriertruhe wird eine gefrorene Lasagne
- mit einer Temperatur von -15°c geholt und zum Auftauen auf die Arbeitsplatte in der Küche gelegt die Zimmertemperatur in der Küche beträgt 21
- Grad Celsius nach 15 Minuten hat sich die Lasagne auf -11,6 Grad erwärmt tada BMC schauen wir uns Schritt für
- Schritt gemeinsam an lasst uns mal mit Teil A starten bestimme die Funktionsgleichung für das beschränkte exponentielle Wachstum diese
- Funktionsgleichung ist hier gegeben es steht dabei für die Sättigungsgrenze K für die wachstumskonstante und B0 für den Startwert es geht der grundsätzlich
- hier darum die Temperatur von dieser Lasagne zu untersuchen wir bekommen die Start Temperatur von -15°c gegeben so kalt ist sie wenn sie noch im
- Gefrierfach ist und dann taut sie ja nach und nach auf wir bekommen hier dass sie nach 15 Minuten dann schon so warm oder kalt ist und wir bekommen auch die
- Zimmertemperatur der Küche gegeben was sagt uns das eigentlich 21 Grad Celsius ist es in der Küche das heißt wärmer kann die Lasagne ja gar nicht werden wir
- holen die aus dem Gefrierfach raus legen die raus und 21 Grad ist es maximum das ist die Sättigungsgrenze wenn wir uns die Temperatur anschauen wärmer kann die
- Lasagne nicht werden deswegen können wir schon mal raus lesen dass es eben dann 21 Grad Celsius also 21 sein muss die wachstumskonstante K keine Ahnung ist
- noch nichts dazu gesagt so wirklich also müssen wir mal ausrechnen aber können wir am Anfang jetzt noch nicht sagen B0 ist der Startwert also wir untersuchen
- hier ja die Temperatur mit welcher Temperatur geht's los mit - 15 Grad Celsius also -15 ist unser B Null und das können wir jetzt mal in die
- Funktionsgleichung hier eintragen also B von T damit untersuchen wir die Temperatur von unserer Lasagne es haben wir gesagt ist 21 also die
- Sättigungsgrenze wärmer kann unsere Lasagne nicht werden minus dann kommt eine Klammer dann kommt wieder s also noch mal die 21 rein minus B0 ist -15
- also da kommt ein Minus wegen der Formel und dann noch mal minus 15 rein weil das unsere Bull ist so kalt war die Lasagne am Anfang das ganze wird mit E hoch - K
- mal t multipliziert K kennen wir noch nicht und Tee ist unsere variable ne B von T also jedes Tee was hier drin ist bleibt auch drin stehen so wie bei FX
- bleibt immer x in unserer Funktion stehen genauso wenn wir jetzt Tee als Variable haben Idee auf jeden Fall einfach stehen
- bleiben wir müssen jetzt aber noch K herausfinden das kennen wir noch nicht müssen wir gleich mal schauen vielleicht
- vereinfachen wir die Gleichung erstmal ein bisschen was da so geht die 21 lassen wir hier vorne mal stehen aber in der Klammer das können wir ausrechnen 21
- - -15 also 21 plus 15 sind 36 und das ganze wird mit dem Ding da hinten multipliziert so das ist jetzt fast unsere Funktionsgleichung B von T da ist
- jetzt noch dieses K als Unbekannte drin das müssen wir schon noch herausfinden was K wirklich ist aber grundsätzlich wofür steht denn B von T B von T gibt
- uns die Temperatur an also das wäre das auf dem Schirm haben was wir da eigentlich ausrechnen wenn wir für Tee etwas einsetzen nachdem wir unser Kar
- gefunden haben das müssen wir noch machen aber wenn wir es gerade gefunden haben wenn wir dann für Tee eine Zeit ein
- steht ja immer für die Zeit dann können wir ausrechnen nach dieser Zeit wie warm unsere Lasagne dann ist von der Temperatur also B von T berechnet immer
- eine Temperatur das heißt wenn ich mein K ausrechnen möchte dann muss ich schauen dass ich für Tee eine Zeit einsetze und für B von T die
- entsprechende Temperatur also ich muss im Text gucken finde ich eine angegebene Zeit und dementsprechend die Temperatur zu dieser Zeit hier ist ein Satz nach 15
- Minuten hat sich die Lasagne auf -11,6°c erwärmt das heißt wir haben hier eine Zeitangabe das ist unser Tee und eine Temperatur das ist unser B von Tee
- bzw wenn man direkt schon mal exakter sind ist das B von nach welcher Zeit nach 15 Minuten also B von 15 nach 15 Minuten haben wir diese Temperatur und
- diese Informationen können wir benutzen um unser K zu berechnen das heißt wir haben gerade herausgefunden dass B von 15 das werden wir gleich verwenden die
- Temperatur nach 15 Minuten ist minus 11,6 und diese Gleichung benutzen wir jetzt um unser Chaos zu rechnen schauen wir uns das hier an das bedeutet
- B von 15 ist nichts anderes als Sätze für das T 15 ein in deiner Gleichung also die Gleichung schreiben wir so ab aber sobald wir auf ein t-stoßen da ist
- es ersetzen wir das durch 15 dafür steht B von 15 und das ganze soll dann minus 11,6 sein und jetzt haben wir hier eine Gleichung in der nur noch K vorkommt und
- diese Gleichung können wir nach K umstellen indem wir hier vielleicht mal die 21 rüberbringen also minus 21 rechnen dann stehen die minus 36 mal
- diese Funktion hier vorne und rechts haben wir - 11,6 - weitere 21 der landen wir bei minus 32,6 dann wir wollen immer noch nach K
- umstellen können wir diese -36 hier wegbekommen indem wir durch diese -36 teilen dann steht wirklich nur noch dieses eo - K mal 15 alleine auf der
- linken Seite und rechts müssen wir jetzt diese Zahl durch diese Zahl hier teilen ihr könnt es entweder als Kommazahl hier hinschreiben aber je früher ihr rundet
- und je krasser ihre rundet wenn ihr wirklich nur auf zwei Nachkommastellen rundet dann wird euer Ergebnis für euer K wirklich sehr ungenau werden also hier
- würde ich euch empfehlen bleibt so exakt wie möglich also der Taschenrechner liefert euch auch einen Bruch ihr könnt es auch als
- 163/180 dann stehen lassen mit dem exakten Ergebnis und damit weiterrechnen wenn wir nach K umstellen wollen muss dieses e hier weg e hoch irgendwas wie
- kriegen wir das weg indem wir auf beiden Seiten den LN Anwenden der LN löst nämlich diese e-Funktion auf und nur das was im Exponenten stand also dieses
- Minus K mal 15 bleibt auf der linken Seite übrig aber auch auf der rechten Seite müssen wir den LN anwenden also LN von diesem Bruch berechnen und auch hier
- würde ich euch empfehlen rechnet das nicht aus lass es ruhig so stehen und tippt es erst ganz zum Schluss in den Taschenrechner ein denn wir wollen ja
- immer noch K herausfinden das heißt das Minus muss noch weg und die 15 hier muss noch weg das bedeutet wir teilen diese Gleichung jetzt noch durch
- -15 damit das K dann endlich auf der linken Seite alleine steht und erst jetzt tippen wir alles in den Taschenrechner ein LN von diesem Bruch
- teilen das ganze noch durch -15 und dann jetzt müssen wir schauen auf wie viele Nachkommastellen wir es runden wenn ihr das ganze auf fünf Nachkommastellen
- rundet kommt ihr für K auf diesen Wert nimmt vier oder fünf Nachkommastellen das ist relativ üblich so dann haben wir K herausgefunden und können das dann in
- unsere Funktionsgleichung hier einsetzen damit wir Teil A erledigt haben also an der Stelle wo unser K auftaucht setzen wir dann jetzt unsere gesucht und unsere
- gefundene zahlen die 0,00661 und das T hinten dran wie gesagt das T muss immer bei BVT in der Gleichung drin stehen bleiben
- erledigt kommen wir zu teil B da dürfen wir jetzt natürlich unsere gefundene Gleichung verwenden und was ist gesucht wie lange dauert es bis sich die Lasagne
- auf 20°c erwärmt hat wie lange ist ein such nach einer Zeit also Tee das gesucht und gegeben ist eine Temperatur also B
- von T misst ja unsere Temperatur und die ist mit 20 gegeben das bedeutet wir können für B von T einfach 20 einsetzen denn diese Temperatur ist ja gegeben und
- wir sollen herausfinden wann also nach welcher Zeit nach welchem Tee ist kommen wir denn bei einer Temperatur von 20°c an jetzt haben wir hier eine Gleichung
- in der es t nur noch unbekannt und die Stellen immer noch um indem wir die 21 vielleicht nach links bringen indem wir minus 21 rechnen 20 - 21 sind -1 rechts
- ist die 21 dann nicht mehr da aber der Rest der hinten dran stand mit dieser wunderschönen Zahl dann nach the umstellen sollte die minus 36 noch
- verschwinden also Teilen wird durch minus 36 - 1 / 36 bleibt Ruh jeden Fall Brüchen ein 36 wird er dann raus könnte auch ruhig
- in Taschenrechner eintippen da kommt meistens eine Kommazahl erstmal raus aber man kann sich ja dann auch noch die bruchdarstellung anzeigen lassen und ein
- 36 ist dann der exakte Wert rechts steht nur noch dieser E-Teil und da wollen wir jetzt immer noch diese Gleichung nach t umstellen das heißt spätestens jetzt
- muss eh weg das kriegen wir hin indem wir auf beiden Seiten den LN anwenden auch hier bleibt exakt wendet einfach links den LN an LN von diesem Bruch und
- rechts wenn wir den LN anwenden verschwindet dieses e und nur das was im Exponenten Stand bleibt übrig und damit können wir die Gleichung perfekt nach C
- umstellen indem wir jetzt noch im letzten Schritt durch diese Zahl hier teilen durch diese negative Zahl die uns jetzt noch stört und das macht ihr dann
- im Taschenrechner um Tee zu finden rechnet ihr also jetzt LN von diesem Bruch geteilt durch diese negative Zahl und wenn ihr das macht
- bekommt ihr 542,14 raus wenn wir uns mal auf zwei nachstellen rundet das heißt nach einer
- Zeit von 542 was worum ging es hier wir haben in Minuten gerechnet also nach 542 Minuten ist unsere Lasagne bei einer Temperatur
- von 20° Celsius 542 Minuten könnt ihr so stehen lassen das sind ungefähr wenn wir es noch durch 60 Teilen ungefähr 9 Stunden also nach neun Stunden hat sie
- fast Zimmertemperatur erreicht ist ja auch so ungefähr das was man so aus der Realität kennt ähm genau und dann kommen wir schon zu Teil C zeichne den Graphen
- der Funktionsgleichung für Tee zwischen 0 und 660 Zeichen ebenfalls die Asymptote ein wir sollen jetzt also unsere gefundene Funktionsgleichung in
- dieses Koordinatensystem eintragen vielleicht starten wir mal mit der Achsenbeschriftung unsere variable heißt ja Tee also die kommt hier auf die
- x-Achse und das haben wir ja in Minuten berechnet und auf der Y-Achse tragen wir dann B von T1 das hat ja die Temperatur untersucht also in Grad Celsius dann von
- der Achsen Einteilung unser Tee soll zwischen 0 und 660 liegen also wenn wir hier mal bei 0 starten und 660 das sind ja Minuten also könnten wir in 60
- Minuten Schritten hier loslaufen dann sollte man hinten bei 66 ankommen also immer 60 dazu falls ich mich nicht verrechne sollte das dann die Einteilung
- sein von unserer x-Achse und wenn wir hinten bei 66 rauskommen ja dann haben wir alles richtig gemacht auf der Y-Achse haben wir unsere Temperaturen
- Grad Celsius da müssen wir mal schauen in welchem Bereich schwankt die denn bei Null ganz am Anfang geht es ja bei -15°c los also kälter wird unsere Lasagne
- nicht mehr das heißt hier bei -15 vielleicht können wir hier -5 - 10 - 15 in 15 Schritten runtergehen dann können wir hier schon mal ein Kreuzchen machen
- da geht die Temperatur los und im positiven Bereich da können wir auch in Fünfer Schritten gehen denn bis wohin kann unsere Temperatur denn nur gehen
- die Zimmertemperatur beträgt 21 Grad Celsius das heißt wärmer kann unsere Lasagne nicht werden als die Zimmertemperatur das heißt hier bei 21°c
- ist Schluss und da können wir dann auch unsere Asymptote einzeichnen ein Asymptote ist eine Funktion an die sich unsere eigentliche Funktion annähert und
- wir wissen unsere Funktion wird sich an die 21 Grad Celsius anlernen das heißt wenn wir hier so eine Gerade ziehen dann wird sich unsere Funktion an diese
- Grenze hier annähern so und dann zeichnen wir unsere Funktion mal ein ein Kreuz in Hamburg zu den anderen Werten können wir die auch einfach dann
- berechnen also wir müssen ihn nicht alle berechnen aber so einzelne also bei der 60 die können wir einfach für das T in unsere Funktion einsetzen die 60 rein
- und ausrechnen im Taschenrechner wenn ihr das macht kommt ihr auf -3,2 also bei 60 ist es ungefähr hier das Kreuzchen bei 120 auch für Tee einfach
- 120 einsetzen ausrechnen dann kommt man ungefähr auf 4,7 also ungefähr 54 man muss es nicht für jeden Punkt machen vielleicht bei der 240 noch einsetzen
- ausrechnen kommt man auf 13 Komma 6 und wir hatten sowieso schon einen Wert ausgerechnet nämlich nach 540 haben wir gesagt sind 20 Grad Celsius also dann
- können wir das hierhin machen man sieht den Verlauf sehr gut dann können wir die Kreuzchen verbinden und unsere Temperatur wird sich hier an
- die Asymptote anschmiegen und das war Teil 10 dann hoffe ich dass euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare
- ansonsten euch noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut
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