Wachstum (Mathematik)

Grundidee und Darstellungsformen

Wachstum ist die Zunahme einer Messgröße im Zeitverlauf; das Gegenteil ist Schrumpfung, Abnahme oder teilweise Zerfall. Werden zu zwei Zeitpunkten t₁ und t₂ die Werte W₁ und W₂ gemessen, liegt positives Wachstum bei W₂ > W₁, negatives Wachstum bei W₂ < W₁ und Nullwachstum bei W₂ = W₁ vor. Mathematisch entspricht dies einer Wachstumsfunktion, die streng monoton steigt, fällt oder an einer Stelle konstant ist.

Viele Messwerte werden in Diagrammen dargestellt. Liegen sie nur zu äquidistanten Zeitpunkten vor, ist der tatsächliche Verlauf zwischen den diskreten Messwerten nicht bekannt; er kann nur bei ausreichend enger Abtastung interpoliert werden. Wachstumsverhalten lässt sich als Rekursionsformel für diskrete Werte, als explizite kontinuierliche Funktion B(t) für einen Bestand zu jedem Zeitpunkt t oder als Differentialgleichung für die erste Ableitung ausdrücken.

Wichtige Größen

Der Anfangsbestand oder Anfangswert B(0) ist der Bestand zu Beginn der Zeitrechnung. In einem Graphen ist er der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Die Wachstumskonstante k beschreibt das Maß des Wachstums und hat je nach Modell eine andere Form. Ihr Vorzeichen beeinflusst, ob Wachstum positiv oder negativ ist. Eine höhere Änderungsrate führt zu einem steileren Verlauf.

Die Wachstumsgeschwindigkeit B′(t) ist die momentane Änderungsrate. Sie wird mit der ersten Ableitung der Wachstumsfunktion B(t) bestimmt. Eine maximale oder minimale Wachstumsgeschwindigkeit liegt an einem Extrempunkt von B′(t) vor; dieser ist zugleich ein Wendepunkt der Wachstumsfunktion, an dem sich ihre Krümmung ändert. Beim linearen Wachstum gibt es keinen solchen Extrempunkt, weil die Wachstumsgeschwindigkeit konstant ist.

Halbwertszeit t_H und Verdopplungszeit t_V bezeichnen die Zeitspanne, nach der sich B(0) halbiert beziehungsweise verdoppelt hat.

Lineares und exponentielles Wachstum

Lineares Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate k konstant ist. Für den Bestand nach t Zeitschritten gilt:

• Rekursiv: Bₜ₊₁ = Bₜ + k.
• Explizit: B(t) = k · t + B(0).
• Als Differentialgleichung: B′(t) = k.

Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate nicht konstant ist, sondern proportional zum aktuellen Bestand B(t) ist. Rekursiv gilt Bₜ₊₁ = Bₜ + k · Bₜ = (1 + k) · Bₜ = a · Bₜ; a = 1 + k heißt Wachstumsfaktor. Die explizite Form lautet B(t) = B(0) · aᵗ = B(0) · (1 + k)ᵗ = B(0) · e^(k̂ · t), mit k̂ = ln(1 + k). Die Differentialgleichung ist B′(t) = k̂ · B(t). Dabei bezeichnet t die Dauer des Vorgangs, geteilt durch die Zeitspanne, in der sich B um den Faktor a verändert, etwa eine Halbwerts- oder Generationszeit.

Beschränktes, logistisches und weiteres Wachstum

Beschränktes Wachstum besitzt eine Schranke S, auch Kapazitäts- oder Sättigungsgrenze genannt. Seine Änderungsrate ist proportional zum Sättigungsmanko S − B(t), also zum noch fehlenden Bestand bis zur Schranke. Es lässt sich durch eine Exponentialfunktion beschreiben:

• Rekursiv: Bₜ₊₁ = Bₜ + k · (S − Bₜ) = (1 − k) · Bₜ + k · S = q · Bₜ + c.
• Explizit: B(t) = S − (S − B(0)) · qᵗ = S − (S − B(0)) · (1 − k)ᵗ = S − (S − B(0)) · e^(−k̂ · t), mit k̂ = −ln(1 − k).
• Differentialgleichung: B′(t) = k̂ · (S − B(t)) = ĉ − k̂ · B(t).

Logistisches Wachstum mit Schranke S hat eine Änderungsrate, die proportional zu B(t) · (S − B(t)) ist. Es verbindet prinzipiell exponentielles und beschränktes Wachstum. Der Wendepunkt kennzeichnet die Trendwende vom exponentiellen zum beschränkten Wachstum. Es gilt B′(t) = k · B(t) · (S − B(t)) = k · S · B(t) − k · B(t)² und B(t) = B(0) · S / (B(0) + (S − B(0)) · e^(−k · S · t)). Die Rekursion Bₜ₊₁ = Bₜ + k · Bₜ · (S − Bₜ) heißt auch quadratische Rekursion, ist aber wegen des expliziten Eulerverfahrens nur eine Näherung der Differentialgleichung.

Weitere Formen sind Potenzwachstum mit B(t) = B(0) · tⁿ, n ∈ ℝ; n beeinflusst die Wachstumsgeschwindigkeit. Beim vergifteten Wachstum hemmt ein regelmäßig zugeführter giftiger Stoff den Bestand, sodass positives Wachstum in einen Prozess bis zum Aussterben übergehen kann: B(t) = B(0) · e^(k · t − ½ · c · t²). k ist die Wachstumskonstante, c beschreibt die Giftwirkung. Bei Selbstvergiftung erzeugt der Bestand den Hemmstoff selbst, etwa durch schädigende Stoffwechselrückstände.

Diskrete Prozesse können durch Folgen (aₙ)ₙ∈ℕ beschrieben werden. Zwei Folgen (aₙ) und (bₙ) sind äquivalent, wenn eine Konstante C ∈ ℕ existiert mit aₙ ≤ b_Cn und bₙ ≤ a_Cn für alle n ∈ ℕ. Polynomielles Wachstum vom Grad d bedeutet Äquivalenz zu aₙ = nᵈ, exponentielles Wachstum Äquivalenz zu aₙ = eⁿ.

Eigenschaften realer Wachstumsprozesse

Wachstum kann qualitativ am Zeitverlauf und quantitativ über die Einheit der Messgröße beschrieben werden. Lineares und exponentielles Wachstum gelten mathematisch als unbeschränkt. Reale Prozesse sind grundsätzlich begrenzt, weil Ressourcen nicht unbegrenzt vorhanden sind oder andere Begrenzungen wirken und ein dynamisches Gleichgewicht entsteht, zum Beispiel in einem Räuber-Beute-System. Ein begrenzter Prozess muss sich jedoch nicht umkehren: Innerhalb seiner Grenzen kann er dauerhaft positiv wachsen. Als Beispiel wird die Entropie in geschlossenen Systemen genannt; ihre maximale Entropie ist die Wachstumsgrenze.

Nach dem Krümmungsverhalten gibt es lineare oder exponentielle sowie degressive, also verzögerte, und progressive, also beschleunigte Prozesse. Wachstum kann dabei positiv oder negativ sein. Radioaktiver Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes negatives Wachstum.

Messungen können kontinuierlich oder nur zu bestimmten Zeitpunkten erfolgen; Messdaten sind stetig oder diskret. Stetige Daten haben unendlich viele mögliche Werte und sind messbare Größen mit Einheiten, etwa Länge in Kilometern, Fläche in Quadratmetern, Volumen in Litern, Masse in Kilogramm oder Zeit in Sekunden. Diskrete Daten sind abzählbare ganze Zahlen, etwa Bevölkerungszahlen, Arbeitslosenzahlen oder Umsätze. Dimensionslose Daten sind relative Werte wie Umsatzrendite, Intelligenzquotient, Komplexität oder Kapazität. Reale Prozesse können nur scheinbar stetig sein: Die Längenzunahme des Menschen erfolgt während der Wachstumsperiode beispielsweise in Schüben.

Eine Messgröße kann ständig monoton wachsen oder fallen oder Schwankungen mit einem übergeordneten Trend zeigen, wie bei der Konjunktur. Periodische Schwankungen, etwa in Systemen mit Rückkopplung, können ungedämpft, gedämpft oder aufschaukelnd sein. Aperiodische Schwankungen heißen Fluktuationen und können zufallsbedingt oder chaotisch sein.

Anwendungen in Biologie, Wirtschaft und Ökologie

In der Biologie ist Wachstum die Größenzunahme eines Organismus durch Neubildung von Körpermasse und eine Bedingung für Leben. Es entsteht durch Hyperplasie, also mehr Zellen insbesondere durch Zellteilung, durch Hypertrophie, also größere Zellen, oder durch eine größer werdende extrazelluläre Matrix. Ein ausreichendes Nahrungsangebot ist Voraussetzung. Wachstum ist hormongesteuert: Bei Wirbeltieren sind vor allem Somatropin und Thyroxin beteiligt, bei Pflanzen Phytohormone. Beim Menschen findet körperliches Wachstum bis ungefähr zur Pubertät statt; weil Körperteile und Organe unterschiedlich schnell wachsen, können sich Proportionen verschieben. Dies heißt allometrisches Wachsen. Im Erwachsenenalter liegt Homöostase vor, wenn Anabolismus und Katabolismus im Gleichgewicht sind.

In der Wirtschaft bezeichnet Wachstum die Zu- oder Abnahme wirtschaftlicher Größen, etwa der Bevölkerung oder der Leistungsfähigkeit einer Volkswirtschaft. Wirtschaftswachstum im engeren Sinn ist die Änderung des Bruttoinlandsprodukts (BIP) von einer Periode zur nächsten, also die Steigerung der inländischen Produktion. Sie kann durch bessere Auslastung vorhandener oder durch neue Produktionskapazitäten entstehen. Es gibt quantitative Betrachtungen, etwa die mengenmäßige BIP-Zunahme, und qualitative, etwa Lebensqualität, deren Messung schwierig ist. Seit 1967 ist wirtschaftliches Wachstum im Gesetz zur Förderung der Stabilität und des Wachstums der Wirtschaft politisch verankert.

In der Ökologie werden Wachstums- und Abnahmeprozesse zur Beurteilung von Umweltschutz und Nachhaltigkeit betrachtet. Dazu gehören der Treibhauseffekt, Veränderungen knapper Ressourcen wie Wasser und zunehmende Umweltverschmutzung. Ziel ist es, Handlungsalternativen für den Umgang mit der Umwelt zu erarbeiten.