Mathematisches Modell

Grundidee und Zweck

Ein mathematisches Modell ist eine Beschreibung eines Ausschnitts der beobachtbaren Welt mit mathematischer Notation. Es kann in begrenzten Bereichen der Realität eingesetzt werden, zum Beispiel in Naturwissenschaften, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, Medizin oder Ingenieurwissenschaften. Ziel ist es, ein reales System logisch und strukturell zu untersuchen: Welche Gesetzmäßigkeiten gelten? Welche Zustände sind erlaubt oder nicht erlaubt? Wie verändert sich das System? Die gewonnenen Erkenntnisse sollen anschließend auf das modellierte System übertragen werden.

Der Prozess, in dem ein solches Modell entsteht, heißt Modellierung. Die Erstellung eines mathematischen Modells für einen bestimmten Realitätsausschnitt ist nicht allein Aufgabe der Mathematik, sondern des jeweiligen Fachgebiets. Ob ein Modell die Realität korrekt beschreibt, muss durch Messungen überprüft und validiert werden. Ein mathematisches Modell stellt damit einen Realitätsbezug her, der in mathematischen Teilgebieten sonst nicht unbedingt vorhanden sein muss.

Systeme, Boxmodelle und Modellgleichungen

Mathematische Modelle modellieren Systeme. Ein System kann vereinfacht als Menge von Objekten beschrieben werden, die durch Relationen verbunden sind. Es kann natürlich sein, etwa ein See oder ein Wald, technisch, etwa ein Motor oder eine Brücke, oder virtuell, etwa die Logik eines Computerspiels.

Ein System ist von seiner Umgebung umgeben. Die Umgebung wirkt von außen auf das System ein; solche Einwirkungen werden als Relationen R bezeichnet. Das System reagiert darauf durch Veränderungen von Systemvariablen V. Zwar kann ein System auch Wirkungen nach außen haben, diese werden bei der Modellierung häufig vernachlässigt. Wichtig sind klar definierte Systemgrenzen: Nur die festgelegten Relationen zählen im Modell. Wenn zum Beispiel der Phosphoreintrag in einen See untersucht wird und nur ein einmündender Fluss berücksichtigt wird, dann gehören andere Quellen wie Grundwasser, Schiffsverkehr oder Fische nicht zum Modell.

Ein Boxmodell stellt ein System schematisch dar. Die Box steht für das modellierte System, ein Eingangspfeil für die Einwirkungen der Umwelt und ein Ausgangspfeil für Reaktionen. Innerhalb der Box können zwischen den Systemvariablen beliebige weitere Relationen bestehen. Boxmodelle dienen in der Praxis als Denkhilfe, weil sie helfen, Systemvariablen und Subsysteme zu erkennen. Nach dem Grad der Bestimmtheit unterscheidet man Black-Box- und White-Box-Modelle. Black-Box-Modelle beschreiben das Verhalten eines Systems durch eine Gleichung, ohne die innere Komplexität genauer zu berücksichtigen. White-Box-Modelle versuchen dagegen, das System möglichst genau zu modellieren.

Die Dimension eines Systems ist die Anzahl der Zustandsvariablen, mit denen das mathematische Modell beschrieben wird. Eine Modellgleichung ist das formelle mathematische Modell eines Systems in Form einer Funktion. Allgemein hat sie die Form {V}=f({R},{V},{p}). Dabei ist {V} die Menge der Modellvariablen, {R} die Menge der Relationen, die auf das System einwirken, und {p} die Menge der Modellkonstanten. Jede dieser Mengen kann grundsätzlich auch leer sein; oft besteht eine Menge nur aus einem Element.

Wichtige Modellarten

Statische Modelle beschreiben den Zustand eines Systems vor und nach Änderungen äußerer Relationen, aber nicht den Verlauf während der Änderung. Ein einfaches Beispiel ist die Berechnung der Mischungstemperatur zweier verschieden warmer Flüssigkeiten: Man kann die Temperatur vor und nach der Mischung berechnen, aber nicht den zeitlichen Verlauf des Mischens. Die allgemeine Systemgleichung eines statischen Modells lautet V=f(R), wobei f eine beliebig komplexe Funktion sein kann und weitere Parameter als Konstanten enthalten kann.

Dynamische Modelle beschreiben die Reaktion eines Systems auf Änderungen äußerer Relationen. Im Mischungsbeispiel könnten sie die Temperaturänderung während der Mischung beschreiben. Zeitlich kontinuierliche Modelle beschreiben Veränderungen über einen kontinuierlichen Zeitraum. Sie werden mit Differentialgleichungen modelliert. Allgemein wird die zeitliche Veränderung von V durch f(R,V) beschrieben, also dV/dt=V(t)'=f(R,V). Durch Integration kann dann die Temperatur zu jedem Zeitpunkt berechnet werden.

Zeitlich diskrete Modelle werden verwendet, wenn Prozesse nicht kontinuierlich beobachtet oder beschrieben werden können, etwa weil Messungen nur in bestimmten Intervallen stattfinden. Der Zustand zwischen den Messpunkten ist dann nicht bekannt. Mit Zeitreihenanalysen können Differenzengleichungen erstellt werden. Die allgemeine Form lautet V^(k+1)=f(R^(k),V^(k)).

Räumlich kontinuierliche Modelle werden eingesetzt, wenn neben der Zeit auch der Ort eine Rolle spielt. Sie verwenden partielle Differentialgleichungen. Beim Mischungsbeispiel könnte damit bestimmt werden, welche Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt an einer bestimmten Stelle im Mischungsgefäß erreicht wird.

Stochastische Modelle beschreiben Systeme, die sich nicht deterministisch, also nicht eindeutig vorhersagbar, verhalten. Ein typisches Beispiel ist der Zerfall radioaktiver Isotope: Über einen Zeitraum ist erwartbar, dass eine bestimmte Menge zerfällt, aber nicht, wann genau einzelne Zerfälle stattfinden. Solche Systeme werden mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung modelliert.

Klassifizierung und Modellierung

Mathematische Modelle lassen sich nach mehreren Gesichtspunkten einteilen: nach dem Änderungsverhalten in statische oder dynamische Modelle, nach der Kontinuität in diskrete oder kontinuierliche Modelle, nach der Vorhersagbarkeit in stochastische oder deterministische Modelle, nach der Anzahl der Systemvariablen in 1- bis n-dimensionale Modelle, nach der Art der Gleichungen in lineare und nicht-lineare Modelle, zum Beispiel quadratische oder exponentielle Modelle, und nach dem Wissenschaftszweig, etwa in physische oder chemische Modelle.

Ein Beispiel für den Modellierungsprozess ist ein physikalisches Modell eines Ferromagneten. Magnetismus kann viele Ursachen haben; ein Magnet kann aus kompliziert aufgebauten oder verunreinigten Materialien bestehen. Um das zu vereinfachen, untersucht man ein Modellsystem: eine unendlich ausgedehnte, periodische Anordnung atomarer Dipole. Dabei sieht man von Oberflächeneffekten, Gitterfehlern und Verunreinigungen ab und konzentriert sich auf den Magnetismus gebundener Elektronen in einer einfachen mathematischen Näherung.

Dieses Modell kann auf verschiedene Weise untersucht werden. Man könnte ein physisches Modell bauen, etwa ein Holzgitter mit frei beweglichen Stabmagneten, und experimentell prüfen, wie sich die Stabmagneten gegenseitig beeinflussen. Man kann den Modellmagneten aber auch durch ein System geschlossener Gleichungen beschreiben; dadurch entsteht aus dem physikalischen Modell ein mathematisches Modell. Dieses lässt sich in günstigen Fällen analytisch exakt oder asymptotisch lösen. Häufig wird ein Computer verwendet, um ein mathematisches Modell numerisch auszuwerten. Ein Computermodell ist dabei ein mathematisches Modell, das mit dem Computer ausgewertet wird; dieser Vorgang heißt Computersimulation.

Zur Validierung eines Modells wählt man Parameter, die man sowohl aus Experimenten am realen System kennt als auch im Modell bestimmen kann. Beim Ferromagneten kann das zum Beispiel die magnetische Suszeptibilität als Funktion der Temperatur sein. Stimmen Vorbild und Modell in einem solchen Parameter überein, kann man daraus schließen, dass das Modell relevante Aspekte der Wirklichkeit korrekt wiedergibt.

Beispiele und Grenzen

Bekannte und sehr alte Beispiele mathematischer Modelle sind die natürlichen Zahlen, die Gesetzmäßigkeiten beim Zählen konkreter Objekte beschreiben, erweiterte Zahlenmodelle für das klassische Rechnen sowie die Geometrie, die Landmessung ermöglichte. In der Elektrotechnik beschreibt der elektrische Widerstand eines Leiters auf Grundlage des Ohmschen Gesetzes einen idealen ohmschen Widerstand; das ist ein eindimensionales, statisches Modell. In der Physik beschreibt die Raketengleichung die Gesetzmäßigkeiten des Raketenantriebs; sie ist ein eindimensionales, zeitkontinuierliches Modell. Beim Newtonschen Gravitationsgesetz handelt es sich um ein dreidimensionales, raumkontinuierliches Modell.

Weitere Beispiele sind die Gibbs-Helmholtz-Gleichung in der Chemie, die die Wärmebilanz chemischer Reaktionen beschreibt und als zeitdiskretes Modell genannt wird, sowie das Galtonbrett, das Wahrscheinlichkeitsverteilungen veranschaulicht und ein eindimensionales, stochastisches Modell ist. In der numerischen Simulation ist die Finite-Elemente-Methode ein mathematisch-numerisches Approximationsverfahren für physikalische Prozesse. In der Spieltheorie beschreibt das Gefangenendilemma, wie zwei Subjekte jeweils rational vorteilhafte Entscheidungen treffen, die insgesamt für beide nachteilig sind; es ist ein zweidimensionales, zeitdiskretes Modell. In der Betriebswirtschaftslehre kann ein Modell der Gewinnmaximierung abhängig von Kostenstruktur und Absatzfunktion den Punkt mit maximalem Gewinn berechnen.

Mathematische Modelle haben Grenzen. Sie sind vereinfachte Darstellungen der Realität, nicht die Realität selbst. Sie untersuchen Teilaspekte komplexer Systeme und nehmen dafür Vereinfachungen in Kauf. Eine vollständige Modellierung aller Variablen würde in vielen Bereichen zu einer nicht mehr beherrschbaren Komplexität führen. Besonders Modelle, die menschliches Verhalten beschreiben, sind nur Annäherungen an die Wirklichkeit. Es ist nicht immer möglich, mit Modellen die Zukunft berechenbar zu machen. George Box formulierte 1976 dazu: „All models are wrong, but some are useful.“ Auf Deutsch: „Alle Modelle sind falsch, aber manche sind nützlich.“ Daneben gibt es wichtige mathematische Modelle, die nicht eindeutig in die dargestellte Struktur passen, etwa Modelle der Statistik, des Maschinellen Lernens und der Mathematischen Optimierung.