Änderungsrate

Bedeutung der Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe G beschreibt, wie stark sich G während eines bestimmten Zeitraums im Verhältnis zur Dauer dieses Zeitraums verändert. Anschaulich ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich G ändert; ungenau wird sie auch Änderungsgeschwindigkeit von G genannt.

Ihre Einheit enthält im Nenner stets eine Zeiteinheit, während im Zähler die Einheit der betrachteten Größe G steht. Bezieht man die Änderung zusätzlich auf die Größe selbst, heißt sie relative Änderungsrate oder Wachstumsrate.

Man unterscheidet zwei grundlegende Formen: die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Messungen und die momentane Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Mittlere Änderungsrate berechnen

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung von G zwischen den Zeitpunkten t₁ und t₂. Der betrachtete Zeitraum lautet Δt = t₂ − t₁. Sie wird mit dem Differenzenquotienten berechnet:

ΔG/Δt = [G(t₂) − G(t₁)]/[t₂ − t₁].

Dabei wird also die Änderung der Größe G durch die Zeit geteilt, in der diese Änderung stattfindet. Im Zeit-Größen-Diagramm von G(t) entspricht die mittlere Änderungsrate der Steigung einer Sekante. Diese Gerade verläuft durch die Punkte (t₁|G(t₁)) und (t₂|G(t₂)).

Momentane und weitere Änderungsraten

Die momentane Änderungsrate beschreibt die Änderung von G genau zum Zeitpunkt t. Sie ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate, wenn das Zeitintervall Δt gegen Null strebt. Damit ist sie die zeitliche Ableitung von G(t):

Ḡ(t) = lim(Δt→0) ΔG/Δt = lim(Δt→0) [G(t + Δt) − G(t)]/Δt = dG/dt.

Diese Definition setzt voraus, dass sich die Messgröße differenzierbar mit der Zeit ändert. Das ist meist, aber nicht immer erfüllt. Beispielsweise ist die momentane Stromstärke I(t) = dQ/dt, also die Änderungsrate der Ladungsmenge, in dem Moment nicht definiert, in dem ein Schalter geöffnet oder geschlossen wird.

Im Graphen von G(t) ist die momentane Änderungsrate die Steigung der Tangente im Zeitpunkt t. Bei zeitlinearen Änderungen ist sie konstant und deshalb in jedem Zeitintervall gleich der mittleren Änderungsrate.

Hängt G statt von der Zeit von einem anderen Parameter q ab, bedeutet mittlere Änderungsrate den Differenzenquotienten ΔG/Δq und momentane Änderungsrate den Differentialquotienten dG/dq. Ist q eine Ortskoordinate, spricht man auch von der lokalen Änderungsrate. Bei einem vektoriellen Parameter q wird statt „Rate“ auch „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.

Beispiele

Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit v(t) die momentane Änderungsrate der Zeit-Ort-Funktion x(t).

Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt die maximale Steiggeschwindigkeit an. Die Dehnrate beschreibt, mit welcher Geschwindigkeit ein Werkstoff gedehnt oder umgeformt wird.