Lösung (Mathematik)

Bedeutung einer Lösung

In der Mathematik ist eine Lösung ein mathematisches Objekt, etwa eine Zahl oder Funktion, das die Vorgaben eines wohldefinierten Problems erfüllt. Bei Aufgaben aus Gleichungen oder Ungleichungen mit freien Variablen bedeutet dies: Den Variablen werden Werte aus einem festgelegten Definitionsbereich zugeordnet, sodass nach dem Einsetzen alle Aussagen gleichzeitig wahr sind. Alle passenden Belegungen zusammen bilden die Lösungsmenge.

Der Ausdruck „Lösung“ wird auch für andere mathematische Probleme verwendet. Eine Lösung kann dann zum Beispiel eine Konstruktion oder ein Beweis sein. Die systematische Untersuchung von Strategien zum Lösen von Problemen heißt Heuristik. George Pólya leistete dazu umfangreiche Beiträge; ein Standardwerk ist sein Buch Schule des Denkens.

Besondere Arten von Lösungen

Je nach Problemart gibt es besondere Bezeichnungen:

• Eine Nullstelle löst eine Gleichung der Form f(x)=0. Bei Polynomen heißen solche Lösungen auch Wurzeln.
• Ein Fixpunkt löst die Gleichung f(x)=x.
• Eine optimale oder extremale Lösung erfüllt unter Nebenbedingungen eine Maximierungs- oder Minimierungsaufgabe: f(x)=max{f(t)} beziehungsweise f(x)=min{f(t)}.

Beispiele

Die Gleichung x³−1=0 besitzt abhängig vom verwendeten Zahlenbereich unterschiedliche Lösungen: In den reellen Zahlen ist x=1 die Lösung. In den komplexen Zahlen lautet die Lösungsmenge {1, −1/2+i√3/2, −1/2−i√3/2}. Im endlichen Körper GF(2) ist ebenfalls x=1 eine Lösung.

Für die Differentialgleichung f′(x)=f(x) mit differenzierbaren Funktionen f: ℝ → ℝ ist die Lösungsmenge {ceˣ: c∈ℝ}. Jede reelle Konstante c liefert also eine Lösung.

Beim Optimierungsproblem x+y=1 und f(x,y)=xy=max! wird der größte Wert f(x,y)=1/4 bei x=y=1/2 erreicht.