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Beschränktes Wachstum – Funktion aufstellen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 59 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe zum beschränkten Wachstum mitgebracht in ein Gehege werden neun Alpakas gelassen es wird geschätzt dass
- maximal 80 Alpacas in diesem Gehege leben können nach 2 Jahren werden 26 Alpakas gezählt Teil A bestimme den Funktionsterm der Funktion die das
- Wachstum der Alpakas modelliert um Teil B und C kümmern wir uns gleich schauen wir uns erstmal Teil A an wir sollen jetzt also einen
- Funktionsterm Aufstellen der das Wachstum der Alpakas beschreibt wir haben es hier mit einer Population zu tun die immer weiter
- wächst aber mit einer oberen Schranke für unsere Population denn es wird gesagt dass maximal 80 Alpacas in diesem Gehege leben können deswegen haben wir
- es hier mit beschränktem Wachstum zu tun und dafür gibt es eben eine Vorschrift wie die der Funktionsterm dazu aussieht das haben sieht folgendermaßen aus B von
- T ist s- ich sage gleich was die einzelnen Sachen hier sind aber ich schreibe das ganze erst mal auf und dann gucken wir
- wie wir oder was wir davon überhaupt bestimmen müssen so S steht für diese obere Schranke von der ich gerade schon gesprochen habe das heißt das ist unsere
- Schranke s die haben wir auch schon gegeben können wir schon mal zuordnen dass das unsere 80 hier ist b von0 steht für den Anfangswert also wie viele
- Alpaka am Anfang da waren kriegen wir auch gegeben sind neun Stück also das hier ist unser B von 0 haben wir schon mal zugeordnet dann e hoch - K also das
- K steht für die wachstumskonstante die ist jetzt hier noch nicht gegeben müssen wir noch berechnen und das T steht für die Zeit
- aber die Zeit also das T bleibt in der Funktion einfach drin stehen unsere Funktion ist ja ein Abhängigkeit von T also wir müssen nur s B von0 und K
- herausfinden aber s und B von0 haben wir schon deswegen schreiben wir das hier direkt mal rein für unser s haben wir gesagt kommen 80 rein genauso an der
- Stelle für das S packen wir die 80 rein B von0 sind die neuen Alpakas am Anfang und das ganze wird mit diesem e hoch- KT multipliziert das hier in der Klammer
- können wir mal noch ausrechnen 80- 9 sind einfach 71 also statt der Klam schreiben wir hier 71 hin ziehen das Ganze zusammen und
- dann sieht unser Funktionsterm schon mal so aus den habe ich jetzt noch mal hier hineschrieben das einzige was da jetzt noch fehlt ist unser K das ist noch
- unbekannt das müssen wir noch herausfinden aber wir haben in unserem Text ja auch noch eine Information die wir noch nicht benutzt haben hier steht
- nach 2 Jahren werden 26 Alpacas gezählt also nach einer gewissen Zeit haben wir 26 Alpakas in unserer Funktionsgleichung hier haben wir ja auch das T was für die
- Zeit steht also hier nach 2 Jahren und B von T steht dafür wie viele Alpakas dann im Gehege sind also können wir für B von T 26 einsetzen wenn wir für unser T2
- einsetzen denn diese Information bekommen wir ja zu 2 Jahren gehören 26 Alpakas also rein da und dann haben wir nämlich gleich eine Gleichung in der nur
- noch K unbekannt ist denn für das T setzen wir die zwei Jahre ein diese Gleichung wollen wir jetzt nach K auflösen es ist eine
- exponentialgleichung wir haben hier e hoch - K mal 2 also das K muss aus diesem Exponenten irgendwann rauskommen das schaffen wir mit dem Logarithmus
- aber den würde ich noch nicht am Anfang einsetzen weil hier ja noch Sachen sind die zusammengefasst werden können also z.B könnten wir die 80 mal nach links
- bringen indem wir -80 rechnen 26 - 80 da kommen wir auf 4 -44 dann haben wir hier nur noch die -71 vom Vorzeichen schön aufpassen dass man
- das alles richtig abschreibt um weiter nach unserem K aufzulösen stört uns jetzt hier noch diese -71 auf der rechten Seite die hier multipliziert
- wird aber die können wir loswerden indem wir durch diese -71 teilen minus durch minus wir zu Plus und 54 dur 71 können wir als Bruch hinschreiben auf der
- rechten Seite steht dann nur noch dieser e hoch- k* 2 Ausdruck bzw das kann man auch rumdrehen falls es euch lieber ist dass man hier -2 K draus macht wir
- wollen immer noch nach unserem K auflösen um das jetzt aus diesem Exponenten rauszu bekommen wenden wir jetzt den Logarithmus an und dadurch
- dass wir hier mit E arbeiten ist der natürliche Logarithmus der LN perfekt geeignet denn der löst diese e-Funktion auf der rechten Seite einfach auf aber
- auch auf der linken Seite müssen wir den LN anwenden also haben wir dort LN von allem was da steht das kommt einfach hier rein in den Logarithmus und auf der
- rechten Seite löst der LN die ist das E auf und nur das was im Exponenten Stand bleibt auf der rechten Seite praktischerweise übrig wir wollen weiter
- nach K auflösen dann stört uns jetzt nur die -2 die können wir aber wegbekommen indem wir durch diese -2 teilen dann haben wir es geschafft unsere Gleichung
- nach K umzustellen wir müssen hier jetzt diesen Ausdruck vom LN den man aber einfach in Taschenrechner eintippen kann der muss noch durch -2 geteilt werden
- wenn ihr das hier in euren Taschenrechner reinpackt und das ganze auf drei Nachkommstellen angibt dann kommen wir auf einen Wert von
- 0,137 hier für diese wachstumskonstante müsst ihr schauen wie viele Nachkommstellen ihr üblicherweise angeben müsst drei sind gängig vier
- eventuell noch müsst einfach gucken was da so festgelegt wird je mehr nachkomm Stellen desto genauer eure Berechnung aber das ist unser K was noch gefehlt
- hat das haben wir gefunden und das können wir hier jetzt an dieser Stelle für unser K einsetzen die
- 0,137 und damit haben wir Teil A erledigt und unseren funktionst hab gefunden der das Wachstum unserer Alpaka Population angibt und mit dem können wir
- weitergehen zu teil B berechne wie viele Alpacas nach 8 Jahren im Gehege Leben 8 Jahre das ist eine Zeit die können wir für t einsetzen hier an dieser Stelle
- und natürlich auch hier vorne an dieser Stelle und ganz ehrlich wenn wir das mal machen hier die acht reinpacken da und einmal da dann müssen wir das hier nur
- ein Taschenrechner eintippen und der Wert der da rauskommt das ist dann B von 8 das steht ja für die Anzahl der Alpakas nach 8 Jahren also wir müssen
- das Ding auf der rechten Seite einfach nur ausrechnen in den Taschenrechner rein und wir kommen auf einen Wert von 56,27 die Frage ist jetzt wie viele
- Alpakas leben dann da nach 8 Jahren das 57 ist noch nicht entstanden sondern es sind nur 56 voll entwickelte Alpakas da deswegen ist die Antwort
- 56 für Teil B dann haben wir das auch erledigt und wir kommen zur letzten Aufgabe Teil C berechne nach wie vielen Jahren 75 Alpacas im Gehege leben also
- diesmal bekommen wir t nicht gesagt das ist das was wir herausfinden sollen also t ist unbekannt wir bekommen aber gesagt wie viele Alpacas dann im geh leben
- sollen und das ist ja das B von T also wir können statt dem B von T die 75 Alpakas hier reinchreiben und diese Gleichung jetzt
- nach t umstellen die steht jetzt mal noch mal auf der nächsten Seite und jetzt geht's noch mal ran das ganze hier diese
- exponentialgleichung nach t aufzulösen wir sind geschult denn die ist sehr ähnlich zu der die wir schon hatten wir bringen die 80 mal auf die linke Seite
- indem wir -80 rechnen 75- 80 sind -5 rechts steht dann dieser -71 und dieser e Ausdruck und wir wollen immer noch weiterhin nach t auflösen das stört
- uns schon wieder die -71 die hier multipliziert wird also teilen wir durch die -71 wir erhalten wieder einen Bruch 571 wenn wir das Vorzeichen verrechnen
- und rechts steht dann nur noch e hoch- unsere wachstumskonstante mal t dasselbe Spiel wie eben um dieses e aufzulösen wenden wir den LN an der sorgt dafür
- dass es wegfallen wird aber auf der linken Seite nicht vergessen dass wir das auch da machen müssen rechts ist es aber sehr schön e löst sich auf und nur
- all das was im Exponenten steht bleibt auf der rechten Seite stehen da ist unser t die Zahl vorne dran stört uns noch wir teilen also durch diese
- negative Zahl und dann haben wir es aber geschafft nach t aufzulösen wir müssen diesen LN Ausdruck also in unseren Taschenrechner
- reinpacken durch diese -0,137 teilen und dann erhalten wir für t einen Wert von
- 19,37 das heißt die Frage war nach wie vielen Jahren leben denn 75 Alpacas im unserem Gehege nach
- 19,37 jah wäre die Antwort aber nach 19 Jahren leben sie ja noch nicht alle dort da sind es noch keine 75 aber dann müssen
- wir aufrunden nach 20 Jahren sind dann 75 Alpakas in unserem Gehege dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die
- Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut
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