Identitätsgleichung

Grundidee

Eine Identitätsgleichung, oft kurz Identität genannt, ist eine mathematische Aussage, die als Gleichung geschrieben wird. Sie behauptet die Gleichheit von Ausdrücken, Formeln oder Funktionen auf einem bestimmten Definitionsbereich.

Der entscheidende Unterschied zu einer gewöhnlichen Gleichung mit unbekannten Variablen ist: Bei einer Identitätsgleichung sucht man nicht nach bestimmten Lösungen. Stattdessen gilt die Aussage für alle zugelassenen Werte aus dem vereinbarten Definitionsbereich. Setzt man beliebige erlaubte Werte ein, müssen beide Seiten denselben Wert ergeben.

Definitionsbereich und Bedeutung der Variablen

Identitätsgleichungen enthalten meistens Variablen. Diese Variablen stehen nicht für gesuchte Zahlen, sondern für beliebige Elemente des Definitionsbereichs. Der Definitionsbereich muss deshalb klar sein, entweder ausdrücklich angegeben oder stillschweigend aus dem Zusammenhang vereinbart.

Ein Beispiel ist die binomische Formel

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 für alle a,b ∈ R.

Sie bedeutet: Für beliebige reelle Zahlen a und b ist das Quadrat der Summe auf der linken Seite gleich der Summe aus den beiden Quadraten und dem doppelten Produkt auf der rechten Seite.

Der Definitionsbereich kann je nach Kenntnisstand oder mathematischem Zusammenhang anders gewählt werden. Auf einem Schulniveau mit rationalen Zahlen kann man die Formel für a,b ∈ Q angeben; nach Einführung komplexer Zahlen auch für a,b ∈ C. In fortgeschrittener Mathematik gibt es aber Definitionsbereiche, in denen diese binomische Formel nicht mehr gilt, zum Beispiel die Menge der 2×2-Matrizen. Daher hängt das Bestehen einer Identität vom gewählten Definitionsbereich ab.

Beispiele und Identitätszeichen

Eine Identitätsgleichung kann auch ohne Variablen auftreten, wenn mathematische Konstanten zueinander in Beziehung gesetzt werden. Ein Beispiel ist die Eulersche Identität

e^(iπ) + 1 = 0.

Eine weitere bekannte Identität ist

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 für alle x ∈ R.

Auch hier wird x nicht bestimmt. Die Aussage gilt für jeden reellen Wert von x. Die zweimalige Verwendung von x bedeutet nur, dass an beiden Stellen derselbe Wert eingesetzt wird. Die Identität sagt: Quadriert man zu irgendeiner reellen Zahl den Sinuswert und den Kosinuswert und addiert beide, erhält man immer 1.

Zur Verdeutlichung wird besonders bei Funktionen manchmal statt des Gleichheitszeichens das Symbol „≡“ verwendet, gelesen als „ist identisch gleich“, zum Beispiel sin^2(x)+cos^2(x) ≡ 1 für alle x ∈ R. Diese Schreibweise ist besonders in technischen Fachrichtungen verbreitet und ändert die Bedeutung nicht. Sie kann aber verwirren, weil „≡“ von vielen Autoren auch für die Modulo-Operation verwendet wird. Welche Bedeutung gemeint ist, wird normalerweise in Lehrwerken festgelegt.

Formale Definition

Formal ist eine Identität eine Allquantifizierung, bei der das Prädikat eine Gleichheitsrelation ist. Eine Allquantifizierung bedeutet, dass eine Aussage für alle Elemente einer bestimmten Menge gilt. Allgemeiner können auch beliebige Äquivalenzrelationen als Prädikat zugelassen werden.

Sei „=“ die Gleichheitsrelation auf einer Menge M. Eine Identität ist jede Aussage der Form

∀ x ∈ G: T1(x) = T2(x),

wobei T1 und T2 Funktionen aus Abb(G,Z) mit Z ⊆ M sind. Die Menge G heißt im Zusammenhang mit dem Allquantor auch Grundmenge.

Das Symbol x kann auch für ein Tupel stehen, also für mehrere Werte zusammen. Ebenso können T1 und T2 Tupel als Werte haben. Deshalb umfasst diese Definition auch Gleichungen mit mehreren Variablen und Gleichungssysteme.

Formales Beispiel

Ein formales Beispiel verwendet x := (x1,x2) und G := R × R. Dann gilt die Identität

∀ x ∈ G: sin(x1+x2) = sin(x1)cos(x2) + cos(x1)sin(x2).

Hier besteht x aus zwei reellen Zahlen x1 und x2. Die Aussage gilt für jedes solche Zahlenpaar aus R × R und beschreibt die Gleichheit der beiden angegebenen Ausdrücke für alle zugelassenen Werte.