Parallelenaxiom – einfach erklärt

Grundidee des Parallelenaxioms

Das Parallelenaxiom ist ein grundlegendes und lange umstrittenes Axiom der euklidischen Geometrie. In der häufig verwendeten Form von John Playfair lautet es: Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P außerhalb von g gibt es in einer Ebene α genau eine Gerade durch P, die zu g parallel ist. Parallel bedeutet: Die Geraden liegen in derselben Ebene und haben keinen gemeinsamen Punkt. Die eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu g durch P.

Euklid formulierte sein fünftes Postulat anders: Schneidet eine Gerade g zwei Geraden h und k so, dass die innen auf derselben Seite liegenden Winkel α und β zusammen kleiner als zwei Rechte sind, also α + β < 180°, dann treffen sich h und k bei Verlängerung auf dieser Seite. Aus Euklids übrigen Postulaten und Axiomen lässt sich beweisen, dass diese Formulierung zur Playfair-Form äquivalent ist. Das Postulat wird auch als fünftes Postulat Euklids bezeichnet; in der Literatur kommen außerdem die Bezeichnungen 11. oder 13. Axiom vor.

Warum das Axiom umstritten war

Euklids fünftes Postulat fiel wegen seiner Länge und Kompliziertheit gegenüber den anderen Postulaten auf. Schon im Altertum versuchte man deshalb, es aus den übrigen Axiomen abzuleiten. Diese über mehr als 2000 Jahre ungelöste Aufgabe heißt Parallelenproblem.

Carl Friedrich Gauß erkannte als Erster, dass das Parallelenproblem grundsätzlich unlösbar ist, veröffentlichte diese Erkenntnis jedoch nicht. Er stand mit Mathematikern in Verbindung, die ähnliche Ideen verfolgten, darunter Friedrich Ludwig Wachter, Franz Taurinus und Wolfgang Bolyai.

Gleichwertige Aussagen in der euklidischen Geometrie

Unter den ebenen Inzidenzaxiomen I.1 bis I.3, den Anordnungsaxiomen der Gruppe II, den Kongruenzaxiomen der Gruppe III und den Stetigkeitsaxiomen V.1 und V.2 aus Hilberts Axiomensystem sind verschiedene Aussagen gleichwertig zum euklidischen Parallelenpostulat. Das heißt: Wenn die übrigen genannten Axiome gelten, kann jede dieser Aussagen das Parallelenaxiom ersetzen.

Dazu gehören: Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt zwei Rechte, also 180°; es gibt Rechtecke; zu jedem Dreieck gibt es ein ähnliches Dreieck beliebiger Größe; Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß; Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß. Ebenfalls äquivalent sind die Aussagen, dass durch einen Punkt im Inneren eines Winkels stets eine Gerade geht, die beide Schenkel schneidet, dass durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte ein Kreis geht, und dass drei Punkte auf derselben Seite einer Geraden mit kongruenten Abständen von dieser Geraden auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Nichteuklidische Möglichkeiten

Nikolai Lobatschewski stellte 1826 als Erster eine Geometrie vor, in der die übrigen Axiome der euklidischen Geometrie gelten, nicht aber das Parallelenaxiom. Diese lobatschewskische oder hyperbolische Geometrie zeigte, dass das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen euklidischen Axiomen herleitbar ist. János Bolyai kam nahezu gleichzeitig unabhängig zu ähnlichen Ergebnissen.

Nichteuklidische Geometrien entstehen, wenn das Postulat gestrichen oder durch ein anderes ersetzt wird. Teilweise verletzen sie außer dem Parallelenaxiom noch weitere Axiome der euklidischen Geometrie.

Elliptische und hyperbolische Fassung

In der elliptischen Ebene gilt als eigentlich projektives Parallelenaxiom: Es gibt keine Nichtschneidenden; zwei verschiedene Geraden schneiden sich stets in genau einem Punkt. Solche elliptischen Ebenen sind im Sinn der metrischen absoluten Geometrie auch projektive Ebenen. Deshalb können dort Hilberts Anordnungsaxiome der Gruppe II und die Streckenkongruenzaxiome III.1, III.2 und III.3 nicht gleichzeitig erfüllt sein. Auf einer projektiven Geraden lässt sich „innen“ und „außen“ nicht projektiv invariant unterscheiden, also nicht auf eine Weise, die bei allen Projektivitäten erhalten bleibt.

David Hilbert formulierte 1903 ein hyperbolisches Parallelenaxiom: Zu einer Geraden b und einem nicht auf ihr liegenden Punkt A gibt es zwei verschiedene Halbgeraden a₁ und a₂ durch A, die b nicht schneiden. Jede von A ausgehende Halbgerade im Winkelraum ∠(a₁,a₂) schneidet dagegen b; auch außerhalb dieses Winkelraums liegende Halbgeraden schneiden b nicht. Ersetzt man in Hilberts System das euklidische Parallelenaxiom IV durch dieses hyperbolische Axiom, erhält man für die Ebene ein widerspruchsfreies Axiomensystem mit genau einem Modell bis auf Isomorphie: der reellen hyperbolischen Ebene. Sie kann etwa im reellen Kleinschen Kreisscheibenmodell innerhalb der reellen euklidischen Ebene dargestellt werden. Einen vollständigen Beweis gab Johannes Hjelmslev 1907.