Summe

Grundbegriff und Rechenregeln

Eine Summe ist in der Mathematik sowohl das Ergebnis einer Addition als auch der Term, der die Addition darstellt. Im Term 2+3 heißen 2 und 3 Summanden. Sowohl 2+3 als auch das Ergebnis 5 werden „Summe von 2 und 3“ genannt. Die Summe ist eine spezielle Aggregatfunktion.

Eine Addition kann mehr als zwei Summanden enthalten, etwa (4+7)+1. Bei einer Linksklammerung werden Klammern oft weggelassen: 4+7+1. Wegen der Assoziativität der Addition natürlicher Zahlen ist die Gruppierung für das Ergebnis unerheblich: (4+7)+1=4+(7+1). Das Gleichheitszeichen sagt dabei, dass die Ergebnisse zweier unterschiedlicher Terme gleich sind.

Nach dem Kommutativgesetz ist auch die Reihenfolge der Summanden unerheblich, zum Beispiel 4+7+1=7+4+1. Wird dieselbe Zahl a n-mal addiert, kann man die Summe als Produkt n·a schreiben; zum Beispiel a+a+a=3·a.

Gewichtete Summen

Bei einer gewichteten Summe werden die einzelnen Werte vor dem Addieren mit Gewichten multipliziert, zum Beispiel 2·Gewicht₁+3·Gewicht₂ oder 2·3+3·5. Die Gewichte bestimmen also, wie stark die jeweiligen Summanden berücksichtigt werden.

Teilt man eine gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das gewichtete arithmetische Mittel.

Folgen, Partialsummen und Reihen

Viele Summanden können mit Auslassungspunkten geschrieben werden, etwa 1+2+3+…+100. Allgemein bezeichnet n die Anzahl der Summanden. Die Glieder einer Zahlenfolge werden mit einem Buchstaben und Indizes notiert, zum Beispiel a₁,a₂,… . Die Summe ihrer ersten n Glieder lautet

sₙ=a₁+a₂+…+aₙ.

Die Werte s₁,s₂,… bilden die Folge der Partialsummen. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge heißt Reihe.

Für die Folge der Quadratzahlen gilt aₙ=n², also a₁=1, a₂=4 und a₃=9. Die ersten Partialsummen sind s₁=1, s₂=5 und s₃=14. Für beliebige n gilt die Summationsformel

sₙ=n(n+1)(2n+1)/6.

Eine weitere Formel ist der kleine Gauß:

1+2+…+n=n(n+1)/2.

Solche Summationsformeln können oft mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Summenzeichen und endliche Summen

Das große griechische Sigma Σ ist das Summenzeichen. Für eine endliche Folge schreibt man

∑ₖ₌ₘⁿ aₖ = ∑ₘ≤ₖ≤ₙ aₖ = aₘ+aₘ₊₁+…+aₙ.

Der Index k heißt Laufindex, Summationsvariable, Laufvariable oder Zählvariable. Er soll zuvor nicht benutzt worden sein; häufig verwendet man i, j, k, l, m oder n. Unter und gegebenenfalls über dem Σ stehen entweder Start- und Endwert oder Bedingungen für den Laufindex. Beispielsweise ist ∑ₖ₌₁¹⁰ k=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. Angaben können entfallen, wenn sie aus dem Kontext klar sind. In der Tensorrechnung kann nach der einsteinschen Summenkonvention sogar das Summenzeichen wegfallen: Über alle doppelt vorkommenden Indizes wird summiert.

Formal sei I eine Indexmenge und A ein kommutatives Monoid; zu jedem i∈I sei aᵢ∈A gegeben. Für endliche I wird die Summe rekursiv definiert durch ∑ᵢ∈∅aᵢ:=0∈A und, für ein beliebiges j∈I, durch ∑ᵢ∈I aᵢ:=aⱼ+∑ᵢ∈I∖{j}aᵢ. Kommutativität und Assoziativität sichern, dass diese Definition wohldefiniert ist. ∑ₖ₌ₘⁿaₖ ist dabei eine Abkürzung für die Summe über I={i∈ℤ | m≤i≤n}.

Ist I unendlich, ist diese Summe allgemein nur definiert, wenn aᵢ=0 für fast alle i gilt. Dann summiert man nur über die endliche Menge der Indizes mit aₖ≠0. Für n=m gilt ∑ₖ₌ₘᵐaₖ=aₘ; für n<m ist die leere Summe gleich 0. Bei einem konstanten Folgeglied c gilt ∑ₖ₌ₘⁿc=(n-m+1)c für n≥m-1.

Steht als Folgeglied eine Summe oder Differenz, sind Klammern nötig: ∑ₖ₌ₘⁿ(aₖ+bₖ)=∑ₖ₌ₘⁿaₖ+∑ₖ₌ₘⁿbₖ. Bei Produkt oder Quotient sind sie entbehrlich, etwa ∑ₖ₌ₘⁿλ·aₖ=λ·∑ₖ₌ₘⁿaₖ. Allgemein gilt aber ∑ₖ₌ₘⁿaₖ·bₖ≠(∑ₖ₌ₘⁿaₖ)·(∑ₖ₌ₘⁿbₖ).

Doppelsummen summieren zunächst über einen inneren und dann über einen äußeren Index: ∑ᵢ,ⱼ₌₁ⁿaᵢⱼ:=∑ᵢ₌₁ⁿ(∑ⱼ₌₁ⁿaᵢⱼ). Es gilt ∑ᵢ,ⱼ₌₁ⁿaᵢⱼ=∑ⱼ,ᵢ₌₁ⁿaᵢⱼ. In der mathematischen Physik bedeutet ein Apostroph am Summenzeichen, dass Terme mit gleichen Laufvariablen ausgelassen werden: ∑′ᵢⱼaᵢⱼ:=∑ᵢ≠ⱼaᵢⱼ.

Unendliche Reihen und verwandte Begriffe

Sind unendlich viele Summanden ungleich null, liegt keine endliche Summe, sondern eine unendliche Reihe vor. Sie wird geschrieben als

∑ⱼ₌₁∞aⱼ=∑ⱼ≥₁aⱼ=a₁+a₂+a₃+…

und ist nur dann definiert, wenn der Grenzwert der Partialsummen existiert:

∑ⱼ₌₁∞aⱼ:=limₙ→∞∑ⱼ₌₁ⁿaⱼ.

Eine solche Reihe heißt konvergent. Im Unterschied zu endlichen Summen sind nicht alle Reihen konvergent; außerdem können Konvergenz und Wert von der Reihenfolge der Summanden abhängen. Auch die Vertauschung von Doppelsummen gilt nicht immer für Doppelreihen. Als Beispiel für fehlende Abgeschlossenheit gilt ∑ₙ₌₁∞1/n²=π²/6: Alle Summanden sind rational, das Ergebnis ist irrational.

Eine obere Grenze ∞ bedeutet nicht zwangsläufig eine unendliche Reihe. Bei ∑ₖ>0[n/pᵏ] für eine Primzahl p und die Ganzzahl-Funktion x↦[x] gibt es zwar unendlich viele angeschriebene Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. Die Summe gibt an, wie oft p in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt.

Verwandte Konstruktionen sind die disjunkte Vereinigung endlicher Mengen, bei der sich Elementanzahlen addieren, sowie die direkte Summe von Vektorräumen oder abelschen Gruppen. Eine Teleskopsumme ist eine endliche Summe von Differenzen, bei der sich benachbarte Glieder – außer dem ersten und letzten – aufheben. Die pythagoreische Summe berechnet die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate mehrerer Größen.