Kosinussatz

Grundform und Bedeutung

Der Kosinussatz ist ein fundamentaler Lehrsatz der Geometrie und gehört zur Trigonometrie. Er beschreibt in einem beliebigen ebenen Dreieck die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Kosinuswerten der gegenüberliegenden Winkel. Für die Seiten a, b und c sowie den der Seite c gegenüberliegenden Winkel γ gilt:

c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ.

Entsprechend gelten für die anderen Seiten und Winkel:

a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α

b² = a² + c² − 2 · a · c · cos β.

Der Satz ist eng mit dem Satz des Pythagoras verbunden und wird deshalb auch verallgemeinerter Satz des Pythagoras genannt. Im rechtwinkligen Fall γ = 90° ist cos 90° = 0; damit wird aus dem Kosinussatz c² = a² + b².

Berechnungen mit dem Kosinussatz

Die Kongruenzsätze SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch drei Seiten oder durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel vollständig bestimmt ist. Der Kosinussatz berechnet aus diesen Angaben jeweils ein weiteres Stück: im SWS-Fall die dritte Seite, im SSS-Fall einen Winkel. Weitere Winkel lassen sich ebenfalls mit dem Kosinussatz oder dem Sinussatz bestimmen; den letzten Winkel erhält man zweckmäßig über die Winkelsumme von 180°.

Im SWS-Fall sind beispielsweise a, b und der eingeschlossene Winkel γ gegeben. Durch Umstellen und Wurzelziehen erhält man:

c = √(a² + b² − 2 · a · b · cos γ).

Im SSS-Fall sind die drei Seiten gegeben. Für den gesuchten Winkel γ wird zunächst nach dem Kosinus aufgelöst:

cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab).

Anschließend ergibt sich der Winkel mit dem Arkuskosinus:

γ = arccos((a² + b² − c²) / (2 · a · b)).

Beweisideen

Ein elementargeometrischer Beweis zerlegt das Dreieck durch ein Lot in rechtwinklige Teildreiecke. Für einen spitzen Winkel γ gilt h² = b² − e² und d² = (a − e)² = a² − 2 · a · e + e². Mit dem Satz des Pythagoras folgt c² = h² + d² und damit c² = a² + b² − 2 · a · e. Da cos γ = e/b beziehungsweise e = b · cos γ gilt, folgt c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ. Für γ > 90° muss der Beweis geringfügig angepasst werden; für γ = 90° folgt der Satz direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Ein trigonometrischer Beweis nutzt die Projektionen der Seiten. Nach Einzeichnen eines Lots gilt c = a · cos β + b · cos α. Nach Multiplikation mit c und geeigneter Addition der entsprechenden Gleichungen für a² und b² entsteht die Kosinussatzformel. Eine zweite trigonometrische Variante verwendet den Sehnensatz und führt über die Äquivalenzkette (2 · a · cos γ − b) · b = (a − c) · (a + c) zu c² = a² + b² − 2 · a · b · cos γ.

Für einen Beweis mit dem Satz des Ptolemäus wird das Dreieck in seinen Umkreis eingebeschrieben und durch Spiegelung ein Sehnenviereck erzeugt. Der Satz des Ptolemäus liefert daraus beispielsweise b² = a² + c² − 2 · a · c · cos β.

Im Vektorbeweis werden für ein Dreieck ABC mit Winkel γ in C die Vektoren a⃗ = CB, b⃗ = CA und c⃗ = AB definiert. Es gilt c⃗ = −b⃗ + a⃗. Durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts folgt c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ).

Beziehungen zu anderen Sätzen

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Umgekehrt lässt sich der Kosinussatz auch aus dem Satz des Pythagoras beweisen. In jeder absoluten Geometrie sind beide Sätze daher äquivalent zueinander.

Der Projektionssatz fasst für ein ebenes Dreieck die drei Beziehungen

a = b · cos γ + c · cos β,

b = c · cos α + a · cos γ,

c = a · cos β + b · cos α

zusammen. Aus diesen Gleichungen folgen die drei Formen des Kosinussatzes. Im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene lassen sich umgekehrt auch die Gleichungen des Projektionssatzes aus dem Kosinussatz ableiten; beide Sätze sind dort gleichwertig.

Kugelgeometrie und Verallgemeinerung

Für Kugeldreiecke werden die Seitenlängen im Winkelmaß angegeben. Deshalb enthält der sphärische Kosinussatz mehrere Winkelfunktionen. Der Seiten-Kosinussatz lautet:

cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ.

Dabei ist die Umkehr des Vorzeichens gegenüber dem ebenen Satz zu beachten. Der zugehörige Winkel-Kosinussatz lautet:

cos γ = −cos α · cos β + sin α · sin β · cos c.

Der Kosinussatz lässt sich außerdem auf reelle Skalarprodukträume verallgemeinern. Für einen Vektorraum V mit Skalarprodukt ⟨·,·⟩ bezeichnet ||a|| = √⟨a,a⟩ die Länge eines Vektors. Für den Winkel θₐ,ᵦ zweier Vektoren gilt cos θₐ,ᵦ = ⟨a,b⟩/(||a|| · ||b||). Ist c = a − b, so folgt:

||c||² = ⟨a − b, a − b⟩ = ||a||² + ||b||² − 2 · ||a|| · ||b|| · cos θₐ,ᵦ.

Damit erscheint die ebene Kosinussatzformel als Spezialfall einer allgemeinen Aussage über Normen und Skalarprodukte.