Ungleichung

Begriff und Formen

Ungleichungen formulieren Größenvergleiche und untersuchen, wann solche Vergleiche wahr sind. Sie bestehen aus zwei Termen, linker Seite T₁ und rechter Seite T₂, die meist reelle Zahlen als Werte haben. Für reelle Zahlen bezieht sich der Vergleich auf deren natürliche Ordnung.

Die Formen sind T₁ < T₂ („kleiner“), T₁ ≤ T₂ („kleiner oder gleich“), T₁ > T₂ („größer“), T₁ ≥ T₂ („größer oder gleich“) und T₁ ≠ T₂ („ungleich“). Die letzte Form entsteht durch Negation einer Gleichung und wird meist nicht eigens behandelt.

Mit Variablen sind Ungleichungen Aussageformen: Erst wenn man für die Variablen Werte aus ihren Definitionsbereichen einsetzt, erhält man eine Aussage, die wahr oder falsch ist.

Äquivalentes Umformen

Äquivalente Ungleichungen haben dieselbe Lösungsmenge. Deshalb darf man zum Lösen umformen, solange die Umformung die Lösungen erhält. Man kann außerdem die Seiten samt Zeichen umkehren: (T₁ ≤ T₂) ⇔ (T₂ ≥ T₁).

Auf beiden Seiten darf derselbe Term addiert oder subtrahiert werden: T₁ < T₂ gilt genau dann, wenn T₁ + T₃ < T₂ + T₃ beziehungsweise T₁ − T₃ < T₂ − T₃ gilt. So wird 5x < 4x + 7 durch Subtraktion von 4x zu x < 7.

Auch zwei passende Ungleichungen lassen sich addieren. Aus T₁ < T₂ und T₃ < T₄ folgt T₁ + T₃ < T₂ + T₄. Ist mindestens eine der beiden Voraussetzungen strikt, bleibt das Ergebnis strikt; nur aus T₁ ≤ T₂ und T₃ ≤ T₄ folgt T₁ + T₃ ≤ T₂ + T₄.

Multiplikation und monotone Funktionen

Bei Multiplikation oder Division mit einer positiven reellen Zahl bleibt das Vergleichszeichen erhalten, bei einer negativen reellen Zahl kehrt es sich um. Es gilt a > 0 und x < y ⇒ ax < ay sowie a < 0 und x < y ⇒ ax > ay. Insbesondere folgt aus T₁ < T₂: −T₁ > −T₂. Aus 0 < T₁ < T₂ folgt 0 < 1/T₂ < 1/T₁. Das Beispiel −3x < 12 wird durch Division durch −3 zu x > −4.

Für positive Terme können Ungleichungen auch multipliziert werden: Aus T₁ < T₂ und T₃ < T₄ folgt T₁T₃ < T₂T₄; bei zwei nicht strikten Vergleichen folgt entsprechend T₁T₃ ≤ T₂T₄.

Wendet man auf beide Seiten eine streng monotone Funktion an, bleibt die Lösungsmenge erhalten. Eine streng monoton wachsende Funktion lässt das Zeichen unverändert, eine streng monoton fallende dreht es um. ln und die Wurzelfunktion sind streng monoton wachsend; für 0 < T₁ < T₂ gilt daher ln(T₁) < ln(T₂) und √T₁ < √T₂. Bei a^x und logₐ hängt die Richtung von der Basis ab: Für a > 1 bleibt sie erhalten, für a < 1 kehrt sie sich um. Daher folgt aus 0 < 0,8ⁿ ≤ 0,05: n ≥ log₀,₈(0,05) = ln(0,05)/ln(0,8) ≈ 13,43.

Lösungen und Abschätzungen

Beim Lösen einer Ungleichung bestimmt man die Lösungsmenge: alle Werte aus dem Definitionsbereich, für die der Vergleich beim Einsetzen wahr ist. Ein wichtiges Mittel dazu ist das Umformen in eine einfachere äquivalente Form.

Eine Abschätzung vergleicht einen Term auf seiner gesamten Definitionsmenge mit einem anderen, meist einfacheren Term. Aus T₁ < T₂ folgt: T₁ ist nach oben durch T₂ abgeschätzt, T₂ nach unten durch T₁. Eine obere Abschätzung kann vergröbert werden, indem T₂ durch T₃ > T₂ ersetzt wird; wegen der Transitivität gilt dann auch T₁ < T₃. Bei Grenzwertuntersuchungen lassen sich komplizierte Ausdrücke so durch leichter handhabbare Schranken ersetzen.

Wichtige und erweiterte Ungleichungen

Die Dreiecksungleichung besagt für ein Dreieck mit Seitenlängen a, b und c: c ≤ a + b. Für reelle Zahlen lautet eine Verallgemeinerung |a + b| ≤ |a| + |b|. Sie lässt sich auch auf Beträge komplexer Zahlen und auf Integrale erweitern.

Für Vektoren x und y in einem Prähilbertraum V mit Skalarprodukt ⟨·,·⟩ gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |⟨x,y⟩|² ≤ ⟨x,x⟩ · ⟨y,y⟩. Gleichheit gilt genau dann, wenn x und y linear abhängig sind.

Für komplexe Zahlen gibt es keine Relation ≤, die ℂ zusammen mit Addition und Multiplikation zu einem geordneten Körper macht. Man betrachtet manchmal eine lexikographische Ordnung: x < y, wenn Re(x) < Re(y) oder wenn die Realteile gleich sind und Im(x) < Im(y). Sie erfüllt Trichotomie und Transitivität.

Bei Spaltenvektoren x,y ∈ ℝⁿ kann x ≤ y bedeuten, dass für jede Komponente xᵢ ≤ yᵢ gilt. Nicht alle Vektoren sind dann vergleichbar: Für x = (2,5)ᵀ und y = (3,4)ᵀ gilt keines der vier Vergleichszeichen. Für Matrizen kann A > 0 „A ist positiv definit“ bedeuten; A > B bedeutet dann A − B > 0. In einem reellen Banachraum mit Kegel K wird x ≤ y durch y − x ∈ K definiert.