Zylinder (Geometrie)

Grundidee und Begriffe

Ein Zylinder, auch Drehzylinder genannt, ist im einfachsten Fall eine Fläche, deren Punkte von einer festen Geraden, der Achse, denselben Abstand r haben. Da diese Fläche unendlich ausgedehnt ist, wird sie gewöhnlich durch zwei parallele Ebenen im Abstand h begrenzt.

Stehen die Begrenzungsebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter oder gerader Kreiszylinder. Er besitzt den Radius r und die Höhe h. Die begrenzte Seitenfläche heißt Mantelfläche; die beiden Schnittkreise heißen Grundflächen. Die Mantellinien oder Erzeugenden sind die Strecken, die parallel zur Achse verlaufen und die Mantelfläche bilden.

In der Technik bezeichnet Zylinder häufig den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Kreisflächen eingeschlossen wird. Mathematisch wird der Begriff allgemeiner gefasst: Auch Zylinder mit anderen Leitkurven oder mit schräg verlaufender Achse gehören dazu.

Allgemeine Zylinder und ihre Eigenschaften

Für die allgemeine Definition wird eine ebene Kurve c₀ in einer Ebene ε₀ entlang einer Geraden um einen festen Vektor a verschoben. Die Verschiebungsrichtung darf nicht in ε₀ liegen. Entsprechende Punkte der ursprünglichen Kurve c₀ und der verschobenen Kurve c₁ werden durch parallele Strecken verbunden. Ihre Gesamtheit bildet die Zylinderfläche. Die Kurve c₀ heißt Leitkurve; jede auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Leitkurve ein Kreis, entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Steht der Vektor a senkrecht auf ε₀, handelt es sich um einen senkrechten Kreiszylinder. Bei einer geschlossenen Leitkurve kann die Mantelfläche zusammen mit zwei Begrenzungsflächen als Oberfläche eines Körpers betrachtet werden. Ist die Leitkurve nicht geschlossen, etwa ein Parabelbogen, entsteht zunächst nur eine Mantelfläche. Eine polygonale Leitkurve führt zu einem Prisma.

Eine Zylinderfläche enthält Geraden, ist also eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden. Diese Eigenschaft ist besonders für die Herstellung von Blechverkleidungen wichtig.

Für einen allgemeinen Zylinder mit geschlossener Leitkurve gelten, mit G als Grundfläche, h als Höhe, U als Umfang beziehungsweise Bogenlänge des senkrechten Querschnitts c⊥ und l als Mantellänge:

• Volumen: V = G · h. Die Grundfläche ist die von der Leitkurve eingeschlossene Fläche; ihre Berechnung kann beispielsweise durch Zerlegung oder Integrale erfolgen.
• Mantelfläche: M = U · l.
• Oberfläche: O = M + 2 · G.

Beim senkrechten Zylinder gilt l = h, und U ist die Länge der Leitkurve c₀. Bei einem schiefen Zylinder mit Höhe h gilt l = h / cos φ. Dabei ist φ der Winkel zwischen der Zylinderachse, also der Richtung von a, und der Normalen der Ebene ε₀. Der senkrechte Querschnitt c⊥ ist bei einem schiefen Kreis- oder elliptischen Zylinder eine Ellipse und bei einem Prisma ein Polygon. Bei einem Polygon ist U die Summe der Kantenlängen; bei einem Kreis gilt U = 2πr. Die Bogenlänge einer allgemeinen Kurve kann durch ein Kurvenintegral, bei einer Ellipse meist nur numerisch, bestimmt werden.

Analytische Beschreibungen

Ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius R und Höhe h, der auf der x-y-Ebene steht und die z-Achse als Symmetrieachse besitzt, wird durch

x² + y² = R², 0 ≤ z ≤ h

beschrieben. Für den Vollzylinder muss R durch 0 ≤ r ≤ R ergänzt werden. Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Ellipsengleichung, erhält man einen senkrechten elliptischen Zylinder:

x²/a² + y²/b² = 1, 0 ≤ z ≤ h.

Sein Volumen ist V = πab · h.

Eine Parameterdarstellung des senkrechten Kreis- beziehungsweise elliptischen Zylinders lautet:

• Kreis: x⃗(φ,z) = (R cos φ, R sin φ, z), 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ z ≤ h.
• Ellipse: x⃗(φ,z) = (a cos φ, b sin φ, z), 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ z ≤ h.

Die Gleichung eines beliebig im Raum liegenden Zylinders ist schwierig anzugeben. Ein beliebiger elliptischer Zylinder lässt sich dagegen parametrisch beschreiben durch

x⃗(φ,t) = q⃗₀ + f⃗₁ cos φ + f⃗₂ sin φ + f⃗₃t, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ t ≤ 1.

Dabei ist q⃗₀ der Mittelpunkt der Bodenellipse. Die Vektoren f⃗₁, f⃗₂ und f⃗₃ sind linear unabhängig; f⃗₃ zeigt in Richtung der Zylinderachse. Sind sie paarweise orthogonal und gilt |f⃗₁| = |f⃗₂| = R, beschreibt die Darstellung einen senkrechten Kreiszylinder mit Radius R und Höhe |f⃗₃|. Jeder beliebige elliptische Zylinder enthält auch Kreise.

Weitere Beispiele sind der parabolische und der hyperbolische Zylinder. Ein parabolischer Zylinder in allgemeiner Lage kann durch

x⃗(s,t) = q⃗₀ + f⃗₁s + f⃗₂s² + f⃗₃t, −s₀ ≤ s ≤ s₀, 0 ≤ t ≤ 1,

beschrieben werden. Ein senkrechter parabolischer Zylinder erfüllt y = ax², 0 ≤ z ≤ h. Ein hyperbolischer Zylinder in allgemeiner Lage wird durch

x⃗(s,t) = q⃗₀ ± f⃗₁ cosh s + f⃗₂ sinh s + f⃗₃t, −s₀ ≤ s ≤ s₀, 0 ≤ t ≤ 1,

dargestellt. Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder erfüllt x²/a² − y²/b² = 1, 0 ≤ z ≤ h.

Wichtige Sonderformen und Berechnungen

Für den senkrechten Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h gelten:

• Volumen: V = πr²h, also Grundfläche mal Höhe.
• Mantelfläche: M = 2πrh. Abgewickelt ist die Mantelfläche ein Rechteck mit der Länge 2πr und der Höhe h.
• Oberfläche: O = 2πr² + 2πrh.

Ein gerader Kreiszylinder mit h = 2r heißt gleichseitiger Zylinder. Ein Schnitt durch die Zylinderachse ergibt dann ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r. Ist der Querschnitt statt eines Kreises eine Ellipse mit den Halbachsen a und b, gilt V = πab · h. Für die Mantelfläche gibt es dann keine einfache Formel; die Oberfläche ist O = 2πab + M.

Ein Hohlzylinder besitzt eine Bohrung entlang seiner Achse. Neben der Höhe h bestimmen der Außenradius R und der Innenradius r seine Maße. Die Wanddicke b ist R − r. Für einen geraden Hohlzylinder gelten:

• Volumen: V = πR²h − πr²h = π(R² − r²)h.
• Mantelfläche innen und außen: M = 2π(R + r)h.
• Oberfläche: O = 2π(R² − r²) + 2π(R + r)h = 2π(R + r)(R − r + h).

Ist h < R, spricht man von einer Lochscheibe mit konzentrischer kreisförmiger Öffnung.

Wird ein gerader Kreiszylinder mit Radius r schräg durch eine Ebene geschnitten, ist die Schnittkurve eine Ellipse. Bei minimaler Höhe h₁ und maximaler Höhe h₂ des unteren Zylinderabschnitts gelten für die Schnittellipse:

• große Halbachse: a = √(r² + ((h₂ − h₁)/2)²),
• kleine Halbachse: b = r,
• Zusammenhang mit dem Neigungswinkel β: (h₂ − h₁)/2 = r tan β,
• numerische Exzentrizität: ε = sin β.

Für den Zylinderabschnitt gelten V = πr²((h₁ + h₂)/2), M = 2πr((h₁ + h₂)/2) = πr(h₁ + h₂) und O = π(r² + ar) + πr(h₁ + h₂) = πr(r + a + h₁ + h₂). Volumen und Mantelfläche entsprechen damit denen eines Zylinders mit der mittleren Höhe (h₁ + h₂)/2.

Bei einem teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinder mit Länge L, Radius r und Füllhöhe h wird der Inhalt der Füllung aus dem Flächeninhalt eines Kreissegments und der Länge L berechnet:

V = L(r² arccos((r − h)/r) − (r − h)√(2rh − h²)).

Anwendungsbeispiele

Getreidesilos haben oft die Form eines Zylinders. Ein Silo mit Durchmesser 12 m und Höhe 60 m wird zu 40 Prozent mit Weizen gefüllt. Daraus folgen r = 6 m und h = 0,4 · 60 m = 24 m. Das Füllvolumen beträgt

V = π · (6 m)² · 24 m ≈ 2714 m³.

Die Oberfläche des vollständig betrachteten Zylinders ist

O = 2π · 6 m · 30 m ≈ 1131 m².

Das Silo enthält also etwa 2714 Kubikmeter Weizen.

Auch einige Trinkgläser sind annähernd zylinderförmig. Bei einem Glas mit Durchmesser 74 mm und Füllhöhe 92 mm wird Orangensaft bis zur Hälfte eingefüllt. Es gilt r = 37 mm und h = ½ · 92 mm = 46 mm. Damit ergibt sich

V = π · (37 mm)² · 46 mm ≈ 198 · 10³ mm³ = 198 cm³ = 198 ml.

Die Oberfläche beträgt

O = 2π · 37 mm · 83 mm ≈ 193 · 10² mm² = 193 cm².

Das Glas wird somit mit etwa 198 Millilitern Orangensaft gefüllt; die angegebene Oberfläche beträgt etwa 193 Quadratzentimeter.