Exzentrizität (Mathematik)

Begriff und Bedeutung

Die Exzentrizität beschreibt nicht ausgeartete Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Dabei werden zwei verwandte Größen unterschieden.

Die lineare Exzentrizität e ist bei einer Ellipse oder Hyperbel der Abstand eines Brennpunkts vom Mittelpunkt. Sie besitzt die Dimension einer Länge. Bei einem Kreis fallen beide Brennpunkte mit dem Mittelpunkt zusammen, also gilt e = 0.

Die numerische Exzentrizität ε ist bei Ellipsen und Hyperbeln das Verhältnis ε = e/a, wobei a die große Halbachse bezeichnet. Als Verhältnis zweier Längen ist ε dimensionslos. Sie kennzeichnet zugleich die Form eines Kegelschnitts: Ellipsen beziehungsweise Hyperbeln sind genau dann ähnlich, wenn sie dieselbe numerische Exzentrizität besitzen. Alle Parabeln sind ähnlich.

Wertebereiche und geometrische Form

Für eine Ellipse gilt 0 ≤ ε < 1. Bei ε = 0 liegt ein Kreis vor. Je größer ε wird, desto stärker weicht die Ellipse von der Kreisform ab.

Für eine Parabel wird ε = 1 festgelegt.

Für eine Hyperbel gilt ε > 1. Mit zunehmender Exzentrizität wird die Hyperbel offener; der Winkel zwischen ihren Asymptoten wächst. Eine gleichseitige Hyperbel mit rechtwinkligen Asymptoten besitzt ε = √2.

Bei Ellipsen und Hyperbeln wird auch der Abstand e der Brennpunkte vom Mittelpunkt als Brennweite bezeichnet. Bei einer Parabel meint Brennweite dagegen den Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitel.

In der Astronomie bezeichnet „Exzentrizität“ meist nur die numerische Exzentrizität. Dort ist die Schreibweise häufig gegenüber der mathematischen Konvention vertauscht: e steht für die numerische und gegebenenfalls ε für die lineare Exzentrizität.

Berechnung bei Ellipse und Hyperbel

Für die Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 lautet die lineare Exzentrizität

e = √(a² − b²) < a.

Bei a = b gilt e = 0; die Ellipse ist dann ein Kreis. Ist e nur wenig kleiner als a, also b klein, ist die Ellipse sehr flach.

Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 ist

e = √(a² + b²).

Daher gilt bei jeder Hyperbel e > a.

Für Ellipsen und Hyperbeln kann die numerische Exzentrizität zusammenfassend durch

ε = e/a = √(1 ∓ b²/a²) ≠ 1

angegeben werden. Das Minuszeichen gehört zur Ellipse, das Pluszeichen zur Hyperbel. Für Parabeln gilt dagegen ε = 1. Eine lineare Exzentrizität e gibt es nur bei Ellipsen und Hyperbeln, weil eine Parabel keinen Mittelpunkt besitzt.

Gemeinsame Beschreibung durch Leitlinien

Für ε > 0 lässt sich ein Kegelschnitt mithilfe eines Brennpunkts und einer Leitlinie beschreiben. Eine Leitlinie ist dabei eine feste Gerade. Für jeden Punkt der Kurve ist das Verhältnis seines Abstands zum Brennpunkt zu seinem Abstand von der Leitlinie gleich ε.

Aus diesem gemeinsamen Prinzip ergeben sich:

• 0 < ε < 1: Ellipse • ε = 1: Parabel • ε > 1: Hyperbel

Ein Kreis lässt sich nicht mithilfe einer Leitlinie definieren. Der Parameter ε ermöglicht dennoch eine gemeinsame Schar von Kreis, Ellipsen, Parabel und Hyperbeln. Die Gleichung

x²(ε² − 1) + 2px − y² = 0, ε ≥ 0, p > 0

beschreibt alle diese Kurven mit dem Nullpunkt als gemeinsamem Scheitel, der x-Achse als gemeinsamer Achse und demselben Halbparameter p. Dieser Halbparameter ist zugleich der gemeinsame Radius des Krümmungskreises im gemeinsamen Scheitel.

Exzentrizität als Kegelschnitt

Ein Kegelschnitt kann als Schnitt eines senkrechten Kreiskegels mit einer Ebene aufgefasst werden. Seine numerische Exzentrizität ist dann

ε = sin β / sin α,

wobei 0 < α < 90° und 0 ≤ β ≤ 90° gelten. Dabei ist α der Neigungswinkel einer Kegelerzeugenden und β der Neigungswinkel der schneidenden Ebene. Eine Kegelerzeugende ist eine Gerade auf der Mantelfläche des Kegels.

Für β = 0 entsteht ein Kreis. Bei β = α entsteht eine Parabel. Die Schnittebene darf dabei die Spitze des Kegels nicht enthalten.