Ellipse

Begriff und Grundgrößen

Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve und neben Parabel und Hyperbel ein Kegelschnitt. Sie entsteht beim schrägen Schnitt eines Kreiskegelmantels mit einer Ebene, wenn der Winkel zwischen Ebene und Kegelachse größer ist als der halbe Öffnungswinkel des Kegels. Auch der schräge Schnitt einer Zylinderfläche ergibt eine Ellipse.

Ihre zentrale Definition lautet: Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, deren Abstände von zwei festen Punkten F₁ und F₂, den Brennpunkten, dieselbe Summe 2a haben: E = {P | |PF₂| + |PF₁| = 2a}. Dabei muss 2a größer sein als |F₁F₂|, sonst entstünde eine Strecke. Fallen die Brennpunkte zusammen, ist die Ellipse ein Kreis mit Radius a.

Der Mittelpunkt M der Brennpunktstrecke ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch F₁ und F₂ heißt Hauptachse; die dazu senkrechte Gerade durch M heißt Nebenachse. Die Hauptscheitel liegen auf der Hauptachse und haben Abstand a vom Mittelpunkt; a ist die große Halbachse. Die Nebenscheitel liegen auf der Nebenachse und haben Abstand b vom Mittelpunkt; b ist die kleine Halbachse. Der Brennpunktabstand von M heißt lineare Exzentrizität e, die numerische Exzentrizität ist ε = e/a. Es gilt a² = e² + b², also e = √(a² − b²), ε = √(a² − b²)/a und b = a√(1 − ε²). Für a = b gilt ε = 0 und die Ellipse ist ein Kreis.

Die Abstandseigenschaft lässt sich auch als Leitkreis-Eigenschaft deuten: Der Abstand eines Ellipsenpunkts zu einem Brennpunkt ist gleich seinem Abstand zu einem Kreis mit Radius 2a um den anderen Brennpunkt. Dieser Leitkreis ist nicht mit einer Leitlinie zu verwechseln.

Gleichungen, Parameter und Tangenten

Liegt der Mittelpunkt im Ursprung und die Hauptachse auf der x-Achse, besitzen die Brennpunkte die Koordinaten F₁ = (e,0), F₂ = (−e,0). Aus der Abstandssumme folgt die Mittelpunktsgleichung x²/a² + y²/b² = 1.

Nach y aufgelöst lautet sie y = ±(b/a)√(a² − x²). Eine achsenparallele, zum Mittelpunkt (xₘ,yₘ) verschobene Ellipse hat die Gleichung (x − xₘ)²/a² + (y − yₘ)²/b² = 1. Die Ellipse ist zu beiden Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt symmetrisch. Sie kann als Einheitskreis aufgefasst werden, der in x-Richtung um a und in y-Richtung um b gestreckt wurde.

Die Standard-Parameterdarstellung ist (x,y) = (a cos t, b sin t), 0 ≤ t < 2π. Für eine verschobene Ellipse lautet sie (m₁ + a cos t, m₂ + b sin t). Die rationale Darstellung entsteht mit u = tan(t/2): x(u) = a(1 − u²)/(1 + u²), y(u) = 2bu/(1 + u²). Sie erfasst den negativen Hauptscheitel nicht bei einem endlichen reellen u, sondern nur im Grenzwert u → ±∞.

Der Halbparameter p ist die halbe Länge einer Sehne durch einen Brennpunkt, die senkrecht zur Hauptachse verläuft. Es gilt p = b²/a = a(1 − ε²); zugleich ist p der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln.

Für einen Berührpunkt (x₀,y₀) lautet die Tangentengleichung x₀x/a² + y₀y/b² = 1. Eine Tangente mit endlicher Steigung m kann auch als y = mx ± √(m²a² + b²) geschrieben werden. Ein Tangentenvektor im Punkt (x,y) ist (−ay/b, bx/a).

Brennpunkte, Leitlinien und weitere Eigenschaften

Die Brennpunkteigenschaft besagt: Die Normale in einem Ellipsenpunkt halbiert den Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen, also den Verbindungsstrecken vom Punkt zu den Brennpunkten. Entsprechend halbiert die Tangente den Außenwinkel. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird an einer Ellipsentangente so reflektiert, dass er durch den anderen Brennpunkt läuft. Da die Wege zwischen den Brennpunkten über jeden Ellipsenpunkt gleich lang sind, kann auch Schall konstruktiv verstärkt übertragen werden. Dies wird bei Flüstergewölben, beim Zertrümmern von Nierensteinen mit Stoßwellen und bei einem ellipsenförmigen Reflektor eines lampengepumpten Nd:YAG-Lasers genutzt.

Bei einer echten Ellipse (e > 0) heißen die zur Nebenachse parallelen Geraden im Abstand a²/e Direktrizen oder Leitlinien. Für jeden Ellipsenpunkt ist das Verhältnis aus Abstand zu einem Brennpunkt und Abstand zur zugehörigen Leitlinie gleich ε: |PF₁| : |Pd₁| = |PF₂| : |Pd₂| = ε. Umgekehrt beschreibt |PF|/|Pd| = ε für 0 < ε < 1 eine Ellipse; ε = 1 ergibt eine Parabel und ε > 1 eine Hyperbel.

Zu jedem Durchmesser, also einer Sehne durch den Mittelpunkt, gehört ein konjugierter Durchmesser: Die Mittelpunkte aller zu diesem Durchmesser parallelen Sehnen liegen auf ihm. Die Tangenten an den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel zum konjugierten Durchmesser. Haupt- und Nebenachse sind das einzige orthogonale Paar konjugierter Durchmesser. Für deren Längen d₁ und d₂ gilt (d₁/2)² + (d₂/2)² = a² + b².

Schnittpunkte rechtwinkliger Tangenten liegen auf der orthoptischen Kurve x² + y² = a² + b². Sie ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt. Die Pol-Polare-Beziehung ordnet dem Punkt P₀ = (x₀,y₀) die Gerade x₀x/a² + y₀y/b² = 1 zu. Liegt der Pol auf der Ellipse, ist seine Polare die Tangente; liegt er außerhalb, schneidet die Polare die Ellipse in zwei Punkten, liegt er innerhalb, in keinem.

Affine Darstellung und besondere Lagen

Eine beliebige Ellipse ist das affine Bild eines Einheitskreises. Eine affine Abbildung hat die Form x⃗ → f⃗₀ + A x⃗, wobei A regulär ist, also Determinante ungleich 0 besitzt. Sind f⃗₁ und f⃗₂ die Spalten von A, dann lautet eine Parameterdarstellung der Bildellipse p⃗(t) = f⃗₀ + f⃗₁ cos t + f⃗₂ sin t.

f⃗₀ ist der Mittelpunkt, f⃗₁ und f⃗₂ sind konjugierte Halbmesser. Sie müssen nicht rechtwinklig sein und ihre Endpunkte sind deshalb im Allgemeinen keine Scheitel. Mit M = f⃗₁² + f⃗₂² und N = |det(f⃗₁,f⃗₂)| gelten a² + b² = M und ab = N. Daraus folgen a = ½(√(M + 2N) + √(M − 2N)), b = ½(√(M + 2N) − √(M − 2N)). Der Flächeninhalt ist A = π|det(f⃗₁,f⃗₂)|.

Eine implizite Gleichung der so beschriebenen Ellipse ist det(x⃗ − f⃗₀,f⃗₂)² + det(f⃗₁,x⃗ − f⃗₀)² − det(f⃗₁,f⃗₂)² = 0. Für das Beispiel p⃗(t) = (√3,0) cos t + (1,2) sin t ergibt sich x² − xy + y² − 3 = 0.

Auch Ellipsen im Raum haben eine solche Parameterdarstellung, wenn f⃗₀, f⃗₁ und f⃗₂ Vektoren aus ℝ³ sind. Für achsenparallele Ellipsen mit festem Quotienten q = a²/b² gibt es außerdem einen Peripheriewinkelsatz: Vier Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, liegen genau dann auf einer solchen Ellipse, wenn die angegebenen, mit q gewichteten Winkel bei zwei der Punkte gleich sind. Bei vorgegebenem q ist eine solche Ellipse durch drei nicht kollineare Punkte eindeutig bestimmt.

Zeichnen und Anwendungen

Zum Zeichnen werden entweder einzelne Punkte konstruiert, stetige Ellipsenzirkel verwendet oder die Kurve mit Scheitelkrümmungskreisen angenähert. Voraussetzung sind meist Achsen und Halbachsen a, b; bei zwei konjugierten Halbmessern können diese mit der Rytz-Konstruktion bestimmt werden.

Die Gärtnerkonstruktion nutzt direkt die Brennpunktdefinition: Ein Faden der Länge 2a wird mit seinen Enden in F₁ und F₂ befestigt. Ein Stift, der den Faden gespannt hält, zeichnet die Ellipse. Beim Abrollen eines Antiparallelogramms beschreibt der Schnittpunkt der langen Stäbe ebenfalls eine Ellipse. Der Ellipsenzirkel von Frans van Schooten beruht auf diesem Prinzip; seine gezeichnete Kurve erfüllt |EH| + |EI| = |GH| und ist daher exakt eine Ellipse.

Bei Papierstreifenmethoden gleiten Streifenenden auf den Achsen. In der ersten Methode hat der Streifen die Länge a + b, und der markierte Punkt P teilt ihn in die Halbachsen. In der zweiten Methode hat der Streifen die Länge a und wird in die Teile b und a − b geteilt; sein freies Ende beschreibt die Ellipse. Die Konstruktion nach de La Hire verwendet die Scheitelkreise mit den Radien a und b und erzeugt Punkte (a cos t,b sin t). Die Steiner-Erzeugung beziehungsweise Parallelogramm-Methode konstruiert einzelne Ellipsenpunkte als Schnittpunkte entsprechend zugeordneter Geradenbüschel.

Für eine schnelle Näherung zeichnet man die Krümmungskreise in den Scheiteln. Der Krümmungsradius beträgt an den Hauptscheiteln b²/a, an den Nebenscheiteln a²/b. In der Computergrafik kann eine achsenparallele Ellipse aus einem unterschiedlich skalierten Kreis berechnet werden; durch Scherung lässt sich daraus eine gedrehte Ellipse gewinnen.

Ellipsen erscheinen bei Parallelprojektionen von Kreisen, etwa beim schrägen Blick auf die Deckfläche eines Zylinders. Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, die in einem Brennpunkt liegt. Auch periodische Kometen, Planetenmonde und Doppelsterne können solche Bahnen haben. Bei zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillatoren erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn.

Fläche, Umfang und wichtige Formeln

Der Flächeninhalt einer Ellipse mit Halbachsen a und b ist A = πab = πa²√(1 − ε²). Für eine implizite Gleichung αx² + βxy + γy² + 1 = 0 gilt A = 2π/√(4αγ − β²). Ein Ellipsensektor zum Parameter t der Darstellung (a cos t,b sin t) hat den Flächeninhalt A_Sektor = abt/2.

Der Umfang lässt sich nicht exakt durch elementare Funktionen ausdrücken. Mit dem vollständigen elliptischen Integral zweiter Art E(ε) gilt exakt U = 4a·E(ε), wobei ε = √(1 − b²/a²). Als Integral lautet E(ε) = ∫₀^(π/2) √(1 − ε² sin²ϑ) dϑ. Der Faktor 4E(ε) liegt zwischen 4 für die entartete Ellipse als Linie (ε = 1) und 2π für den Kreis (ε = 0).

Einfache Näherungen sind U ≈ π(a + b) und U ≈ π√(2(a² + b²)). Die erste ist beim Kreis exakt, kann für ε nahe 1 aber bis zu 21,46 % Fehler haben; die zweite ist beim Kreis ebenfalls exakt und hat dort im Grenzfall maximal 14,91 % Fehler. Die Näherung nach Srinivasa Ramanujan lautet U ≈ π((a + b) + 3(a − b)²/(10(a + b) + √(a² + 14ab + b²))) = π(a + b)(1 + 3λ²/(10 + √(4 − 3λ²))) mit λ = (a − b)/(a + b). Sie liefert stets einen etwas zu kleinen Wert; für 0 ≤ ε ≤ 0,9 ist sie sehr genau.