Abwicklung (Darstellende Geometrie)

Grundidee und Bedeutung

Eine Abwicklung ist die Ausbreitung einer Fläche in eine Ebene, bei der alle auf der ursprünglichen Fläche gemessenen Längen erhalten bleiben. Möglich ist das nur bei Flächen, deren Gaußkrümmung K an jeder Stelle Null ist. Solche Flächen heißen abwickelbar. Sie besitzen stets Scharen von Geraden und sind damit Regelflächen.

Wichtige einfache abwickelbare Flächen sind die Mantelflächen von Zylindern und Kegeln. Im Artikel bedeutet Zylinder beziehungsweise Kegel immer ein gerader Kreiszylinder beziehungsweise gerader Kreiskegel und nur dessen Mantelfläche, also ohne Boden und Deckel. Werden diese Flächen mit einbezogen, heißt die Darstellung Netz; bei Körpern mit ebenen Flächen auch Abfaltung.

Abwicklungen werden in Technik und darstellender Geometrie benötigt und können als Bastelschablonen dienen: Schneidet man etwa die Abwicklung eines Zylinder- oder Kegelstumpfs aus Papier oder Blech aus, lässt sich daraus durch Aufwicklung ein entsprechendes Modell bilden. Zeichnerische Verfahren sind grundsätzlich nur näherungsweise, weil ein Kreis mit Zirkel und Lineal nicht exakt rektifiziert, also in eine gleich lange Strecke abgewickelt, werden kann. Die Annäherung des Kreisumfangs durch ein regelmäßiges 12-Eck hat beispielsweise einen Fehler von etwa 1,14 %. Mehr Ecken verringern den Fehler; mit kleinen Rechnungen sind fast korrekte Abwicklungen möglich.

Zylinder und Zylinderstumpf

Für einen geraden Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h entsteht beim Aufschneiden entlang einer Zylindergeraden und beim Abwickeln ein Rechteck. Seine Länge beträgt 2πr, seine Höhe h.

Zeichnerisch wird der Basiskreis etwa durch ein regelmäßiges n-Eck angenähert, im Beispiel durch ein 12-Eck. Dessen Seiten werden neben dem Aufriss als Unterteilung der Rechtecklänge abgewickelt. Soll ein gegebener Punkt P eingetragen werden, überträgt man im Grundriss die Distanz von P′ zur nächsten Zylindergeraden. Dadurch erhält man die Gerade im Rechteck, auf der die Abwicklung von P liegt. Bei der dargestellten Anordnung wird die Höhe von P direkt aus dem Aufriss übernommen.

Bei einem Zylinderstumpf, also einem schräg abgeschnittenen Kreiszylinder, bleibt der untere Rechteckteil unverändert. Die Punkte der oberen Begrenzung, die im Aufriss als Ellipse erscheint, werden auf den Zylindergeraden 0, 1, …, 12 bestimmt und in die Abwicklung übertragen.

Genauer wird die Konstruktion, wenn zuerst die korrekte Länge 2πr als Strecke abgetragen und anschließend, etwa in 12 gleiche Teile, geteilt wird. Die horizontale Koordinate der Abwicklung eines Punktes P kann außerdem aus dem Polarwinkel von P′ im Grundriss berechnet werden.

Kegel und Kegelstumpf

Ein senkrechter Kreiskegel ist durch Basiskreisradius r, Höhe h und Mantellänge l = √(r² + h²) gegeben. Nach dem Aufschneiden entlang einer Mantellinie entsteht als Abwicklung ein Kreissektor. Sein Radius ist gleich der Mantellänge l.

Die Öffnung des Sektors wird zeichnerisch über eine n-Eck-Näherung des Basiskreises bestimmt, im Beispiel mit einem regelmäßigen 12-Eck: Eine Kante des n-Ecks wird n-mal auf dem Bogen des abgewickelten Basiskreises abgetragen. Für die Abwicklung eines Punktes P bestimmt man die Mantellinie, auf der P liegt, in Grund- und Aufriss. Der Abstand zwischen ihrem Schnittpunkt mit dem Basiskreis und der benachbarten Mantellinie des n-Ecks wird auf den Sektorbogen übertragen. Die so bestimmte Stelle wird mit dem Mittelpunkt des Sektors, der Abwicklung der Kegelspitze, verbunden. Den Abstand von P zur Spitze erhält man durch Paralleldrehen der Strecke SP im Aufriss.

Ein Kegelstumpf entsteht in der Abwicklung durch Übertragen der Schnittpunkte der Deckelellipse mit den Mantellinien 0, 1, 2, …, 12. Eine genauere Variante verwendet für den Sektorbogen die korrekte Länge 2πr. Der Öffnungswinkel der Abwicklung beträgt 2πr/l; anschließend wird der Bogen beispielsweise in 12 gleiche Sektoren unterteilt. Die Winkelkoordinate eines Punktes P in der Abwicklung erhält man, indem die Winkelkoordinate von P′ im Grundriss mit r/l multipliziert wird.

Schnitt von Kegel und Zylinder

Schneiden sich ein gerader Kreiskegel und ein gerader Kreiszylinder, enthalten die Abwicklungen beider Mantelflächen auch die Abwicklung ihrer Schnittkurve. Mit den Abwicklungen auf Papier, ausgeschnitten und anschließend aufgewickelt, lässt sich ein Modell dieser Kegel-Zylinder-Kombination herstellen. Zur Konstruktion der Schnittkurve wird das Hilfskugelverfahren genannt.