Prisma (Geometrie)

Aufbau eines Prismas

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper (ein spezielles Polyeder), der entsteht, wenn ein ebenes Polygon in eine Richtung parallel verschoben wird, die nicht in seiner Ebene liegt. Dies wird auch Extrusion des Vielecks genannt.

Das ursprüngliche Polygon heißt Grundfläche, die gegenüberliegende kongruente und parallele Fläche Deckfläche. Alle übrigen Flächen bilden die Mantelfläche. Die Seitenkanten verbinden Grund- und Deckfläche; sie sind parallel zueinander und gleich lang. Der Abstand von Grund- zu Deckfläche heißt Höhe h.

Gerade, schiefe und reguläre Prismen

Bei einem geraden Prisma erfolgt die Verschiebung senkrecht zur Grundfläche. Seine Mantelfläche besteht aus Rechtecken. Bei einem schiefen Prisma erfolgt sie nicht senkrecht; die Mantelflächen sind im Allgemeinen Parallelogramme. Der duale Körper eines geraden Prismas ist eine Doppelpyramide.

Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche. Beispiele sind dreieckige, viereckige, fünf- oder sechseckige Prismen. Alle regulären Prismen haben eine Umkugel, da alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

Volumen und Flächeninhalte

Für jedes Prisma gilt für das Volumen:

V = G · h

Dabei ist G der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe. Nach dem Prinzip von Cavalieri haben zwei Prismen mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe dasselbe Volumen, auch wenn eines gerade und das andere schief ist.

Für ein gerades Prisma lautet die Mantelfläche:

M = U · h

U ist der Umfang der Grundfläche. Die gesamte Oberfläche ist:

O = 2 · G + M

Sie setzt sich also aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche zusammen.

Formeln für reguläre Prismen

Für ein reguläres Prisma mit einem regelmäßigen n-Eck der Seitenlänge a als Grundfläche und der Höhe h gelten:

V = (n · a² · h / 4) · cot(π / n)

A = (n · a / 2) · (2 · h + a · cot(π / n))

r_u = (1 / 2) · √(h² + a² / sin²(π / n))

Der Innenwinkel der Grundfläche beträgt α = ((n − 2) / n) · 180°. Der Diederwinkel zwischen Grundfläche und Rechtecken ist β₁ = 90°, der Diederwinkel zwischen zwei Rechtecken ist β₂ = ((n − 2) / n) · 180°. Der Raumwinkel an den Ecken ist Ω = ((n − 2) / n) · π sr.

Beim quadratischen Prisma (n = 4) gilt V = a² · h, A = 4 · a · h + 2 · a² und r_u = (1 / 2) · √(h² + 2 · a²). Beim regelmäßigen Dreiecksprisma (n = 3) gilt V = (a² · h / 4) · √3, A = 3 · a · h + (a² / 2) · √3 und r_u = (1 / 2) · √(h² + 4 · a² / 3).

Sonderformen, Symmetrie und Kugeln

Quader und Würfel sind besondere Prismen; bei ihnen kann jede Seite als Grundfläche aufgefasst werden. In der Optik bezeichnet „Prisma“ meist ein gerades Dreiecksprisma. Mathematisch ist ein Prisma ein Spezialfall eines allgemeinen Zylinders und eines Prismatoids. Hat die Grundfläche Punktsymmetrie, so ist auch das Prisma punktsymmetrisch.

Eine Umkugel gibt es nur bei geraden Prismen, deren Grundfläche einen Umkreis besitzt. Deshalb haben alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen eine Umkugel. Mit Höhe h und Umkreisradius r der Grundfläche ist ihr Radius R = √(r² + h²/4).

Gerade und schiefe Prismen können eine Inkugel besitzen. Ihr Radius ist bei Höhe h: R = h/2. Dafür muss es eine gedachte Ebene geben, die auf allen Parallelogrammen des Mantels senkrecht steht; ihr Schnittpolygon muss einen Inkreis mit dem Radius h/2 besitzen.

Eine Kantenkugel besitzen nur gerade Prismen mit regelmäßiger Grundfläche und gleich langen Kanten. Ihr Mantel besteht dann aus Quadraten. Bei Umkreisradius r der Grundfläche gilt für den Radius der Kantenkugel: R = r.