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Kreissegment
Ein Kreissegment (auch Kreisabschnitt) ist in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird …
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Definition und Abgrenzung
Ein Kreissegment, auch Kreisabschnitt genannt, ist in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche. Es wird von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt. Eine Kreissehne ist eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet. Der Kreisbogen ist der Teil der Kreislinie zwischen diesen Punkten.
Das Kreissegment unterscheidet sich vom Kreissektor oder Kreisausschnitt: Ein Kreissektor wird von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt, ein Kreissegment dagegen von einem Kreisbogen und nur einer Sehne.
Wichtige Größen
Für ein Kreissegment werden mehrere Größen verwendet: α ist der Mittelpunktswinkel, b die Länge des Kreisbogens, h die Segmenthöhe, r der Radius, s die Kreissehne, A die Segmentfläche und M der Kreismittelpunkt.
Der Mittelpunktswinkel α gehört zu dem Kreisbogen des Segments. Die Segmenthöhe h beschreibt den Abstand zwischen Kreissehne und Kreisbogen in Richtung zum höchsten Punkt des Segments. Der Radius r ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Kreislinie.
Fläche und Winkel
Der Flächeninhalt eines Kreissegments kann aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α berechnet werden. Dazu vergleicht man die Fläche des entsprechenden Kreissektors mit der Fläche des gleichschenkligen Dreiecks AMB.
Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, wird die Dreiecksfläche von der Sektorfläche abgezogen. Ist der Mittelpunktswinkel größer als 180°, werden die Flächen addiert. Bei α = 180° ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche; die Fläche des Dreiecks ist dann 0.
In den Formeln müssen Winkel im Bogenmaß eingesetzt werden. Ein Winkel in Grad wird in Bogenmaß umgerechnet, indem man ihn mit π/180° multipliziert.
Zentrale Formeln
Eine wichtige Formel für den Flächeninhalt ist A = (r²/2) · (α − sin α). Weitere Formeln drücken A zum Beispiel mit Radius r, Bogenlänge b, Sehne s und Segmenthöhe h aus, etwa A = (r · b)/2 − (s · (r − h))/2.
Für den Radius gilt unter anderem r = (4h² + s²)/(8h), wenn Segmenthöhe h und Sehne s bekannt sind. Außerdem kann r mit dem Mittelpunktswinkel berechnet werden: r = s/(2 · sin(α/2)) oder r = h/(1 − cos(α/2)).
Für die Kreissehne gilt s = 2r · sin(α/2) sowie s = 2 · √(2rh − h²). Die Segmenthöhe kann berechnet werden mit h = r · (1 − cos(α/2)) oder h = r − √(r² − (s/2)²). Die Bogenlänge ist b = r · α.
Der Mittelpunktswinkel kann ebenfalls aus anderen Größen bestimmt werden, zum Beispiel mit α = 2 · arccos(1 − h/r), α = 2 · arcsin(s/(2r)) oder α = 4 · arctan(2h/s). Für den Flächenschwerpunkt gilt unter anderem xs = (4/3) · (r · sin³(α/2))/(α − sin α), ys = 0; im Sonderfall Halbkreis ist xs = 4r/(3π), ys = 0.
Sagitta und Herleitung
Die Segmenthöhe h wird auch Sagitta genannt, lateinisch für „Pfeil“. Die Formeln zur Segmenthöhe lassen sich mit dem Satz des Pythagoras herleiten.
Dabei bildet die Strecke r − h zusammen mit der halben Kreissehne s/2 ein rechtwinkliges Dreieck. Der Radius r ist die Hypotenuse dieses Dreiecks. Daraus ergibt sich die Gleichung r² = (s/2)² + (r − h)². Durch Umformen dieser Gleichung erhält man Formeln für r, s oder h.
Verwandtes Objekt
Das dreidimensionale Analogon zum Kreissegment ist das Kugelsegment. Es entspricht also einer ähnlichen geometrischen Idee im Raum statt in der Ebene.