Regelfläche

Grundidee und Bedeutung

Eine Regelfläche ist in der Geometrie eine Fläche, durch deren jeden Punkt mindestens eine Gerade verläuft, die vollständig in der Fläche liegt. Genauer ist eine zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Regelfläche, wenn sie die Vereinigung einer einparametrigen Schar von Geraden ist. Diese Geraden heißen Erzeugende.

Beispiele sind Ebenen, Zylinder, Kegel, einschalige Hyperboloide und hyperbolische Paraboloide. Beim einschaligen Hyperboloid und beim hyperbolischen Paraboloid verlaufen durch jeden Punkt sogar zwei Erzeugende; sie besitzen also zwei Geradenscharen. Gehen durch jeden Punkt mehr als zwei Geraden, kann die Regelfläche nur eine Ebene sein. Bei Flächen mit endlicher Ausdehnung und ohne Selbstdurchdringungen sind die Erzeugenden auf Strecken beschränkt.

Regelflächen sind technisch wichtig, weil gekrümmte Formen aus geraden Bauteilen aufgebaut werden können. In der Architektur lassen sie sich beispielsweise mit geraden Brettern einschalen; große Kühltürme haben häufig die Form eines einschaligen Hyperboloids. Abwickelbare Regelflächen wie Zylinder- und Kegelsegmente werden für Lüftungskanäle und Klempnerarbeiten verwendet: Bleche können durch einfaches Biegen geformt werden, ohne das Material zu dehnen oder zu stauchen. In der geometrischen Modellierung dienen Regelflächen unter anderem zur Erzeugung von Coons-Flächen.

Darstellung durch Leitkurven und Richtungen

Eine Regelfläche kann durch

x(u,v) = c(u) + v r(u)

beschrieben werden. Für einen festen Wert u = u₀ ist x(u₀,v) eine Gerade und damit eine Erzeugende. Die Kurve c(u) heißt Leitkurve; der Vektor r(u) gibt das Richtungsfeld der Erzeugenden an.

Mit der zweiten Leitkurve d(u) = c(u) + r(u) erhält man die gleichwertige Darstellung

x(u,v) = (1−v)c(u) + v d(u).

Umgekehrt können zwei sich nicht schneidende Kurven c(u) und d(u) als Leitkurven gewählt werden; dann gilt r(u) = d(u) − c(u). Die Form der entstehenden Fläche hängt nicht nur von der geometrischen Gestalt der Leitkurven ab, sondern wesentlich auch von ihrer konkreten Parametrisierung.

Typische Beispiele sind:

• Senkrechter Kreiszylinder x²+y²=a²: x(u,v)=(a cos u, a sin u, v)ᵀ. Seine Erzeugenden haben die konstante Richtung r(u)=(0,0,1)ᵀ.

• Senkrechter Kreiskegel x²+y²=z²: Eine mögliche Darstellung ist x(u,v)=(cos u, sin u,1)ᵀ+v(cos u, sin u,1)ᵀ. Bei jedem Kegel kann auch die Spitze als Leitkurve gewählt werden.

• Wendelfläche: x(u,v)=(v cos u,v sin u,ku)ᵀ. Dabei ist c(u)=(0,0,ku)ᵀ die z-Achse, r(u)=(cos u,sin u,0)ᵀ das Richtungsfeld und d(u)=(cos u,sin u,ku)ᵀ eine Schraublinie.

Zwei horizontale Einheitskreise können je nach Parameter φ verschiedene Flächen erzeugen. Für φ=0 entsteht der Zylinder x²+y²=1, für φ=π/2 der Kegel x²+y²=z² und für 0<φ<π/2 ein einschaliges Hyperboloid

(x²+y²)/a² − z²/c² = 1

mit a=cos φ und c=cot φ.

Sind beide Leitkurven Geraden, ergibt die bilineare Interpolation der vier Punkte a₁, a₂, b₁ und b₂ ein hyperbolisches Paraboloid. Für a₁=(0,0,0)ᵀ, a₂=(1,0,0)ᵀ, b₁=(0,1,0)ᵀ und b₂=(1,1,1)ᵀ lautet seine Gleichung z=xy.

Tangentialebenen und Abwickelbarkeit

Für x(u,v)=c(u)+v r(u) sind die partiellen Ableitungen

xᵤ=ċ(u)+v ṙ(u), xᵥ=r(u).

Ein Normalenvektor ist daher

n=xᵤ×xᵥ=ċ×r+v(ṙ×r).

Da n·r=0 gilt, ist r(u₀) in jedem Punkt der zugehörigen Erzeugenden ein Tangentenvektor. Die Tangentialebenen entlang einer Erzeugenden sind identisch, wenn

det(ċ(u₀), ṙ(u₀), r(u₀))=0.

Dann sind die drei Vektoren linear abhängig. Eine Erzeugende mit dieser Eigenschaft heißt torsal.

Eine Regelfläche ist genau dann in eine Ebene abwickelbar, wenn ihre Gauß-Krümmung überall verschwindet. Für die angegebene Parameterdarstellung ist dies genau dann der Fall, wenn

det(ċ, ṙ, r)=0

an jedem Punkt gilt, also jede Erzeugende torsal ist. Eine abwickelbare Fläche heißt deshalb auch Torse. Ihre Erzeugenden bilden sowohl eine Schar von Asymptotenlinien als auch eine Schar von Krümmungslinien. Jede abwickelbare Regelfläche ist entweder ein allgemeiner Zylinder, ein allgemeiner Kegel oder eine Tangentenfläche, die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht.

Die Determinantenbedingung ermöglicht es, eine abwickelbare Verbindungstorse zwischen zwei vorgegebenen Leitkurven numerisch zu bestimmen, beispielsweise zwischen einer horizontalen und einer vertikalen Ellipse. Solche Flächen sind besonders für CAD und Blechabwicklungen bedeutsam.

Auch ein Möbiusband kann als Regelfläche dargestellt werden. Für c(u)=(cos 2u,sin 2u,0)ᵀ und r(u)=(cos u cos 2u,cos u sin 2u,sin u)ᵀ mit 0≤u<π enthält x(u,v)=c(u)+v r(u) ein Möbiusband. Da det(ċ(0),ṙ(0),r(0))≠0 ist, ist diese konkrete Realisierung nicht abwickelbar. Es gibt jedoch auch abwickelbare Möbiusbänder.

Striktionslinie und Zentralpunkte

Bei einer zylindrischen Regelfläche sind alle Erzeugenden parallel und ṙ(u)=0. Sie besitzt keine Zentralpunkte und damit keine Striktionslinie. Bei einer nichtzylindrischen Regelfläche sind benachbarte Erzeugende dagegen windschief. Auf einer Erzeugenden gibt es einen Punkt mit minimalem Abstand zur benachbarten Erzeugenden; er heißt Zentralpunkt. Die Gesamtheit dieser Punkte bildet die Striktionslinie, auch Kehllinie oder Taille genannt. Im Zentralpunkt nimmt der Betrag der Gauß-Krümmung auf der jeweiligen Erzeugenden sein Maximum an. Bei einem allgemeinen Kegel entartet die Striktionslinie zur Kegelspitze.

Für eine genügend differenzierbare, nichtzylindrische Regelfläche x(u,v)=c(u)+v r(u) mit ṙ(u)≠0 und |r(u)|=1 ergibt die Minimierung des Abstandes benachbarter Erzeugender den Parameter

v=−(ċ·ṙ)/(ṙ²).

Damit lautet die Parameterdarstellung der Striktionslinie

x(u)=c(u)−[(ċ(u)·ṙ(u))/ṙ²(u)] r(u).

Bei Flächen mit zwei Geradenscharen, etwa dem einschaligen Hyperboloid und dem hyperbolischen Paraboloid, gehört zu jeder Schar eine Striktionslinie. Beim einschaligen Rotationshyperboloid fallen beide zusammen. Für

x(u,v)=(cos u,sin u,0)ᵀ+v(−sin u,cos u,k)ᵀ

haben alle Zentralpunkte v=0; die Striktionslinie ist daher der Einheitskreis in der x-y-Ebene. Bei einem geraden Konoid ist die Achse das gemeinsame Lot aller Erzeugenden und zugleich die Striktionslinie. Beispiele dafür sind das hyperbolische Paraboloid z=xy und die Wendelfläche. Bei einer Tangentenfläche ist die erzeugende Kurve γ selbst die Striktionslinie.

Für das angegebene Möbiusband gilt für die Zentralpunkte v=4 cos u/(1+4 cos²u). Seine Striktionslinie ist

x(u)=1/(1+4 cos²u) · (cos(2u),sin(2u),−2 sin(2u)).

Sie liegt in der Ebene 2y+z=0 und ist eine Ellipse mit Mittelpunkt (−2/5,0,0) und Halbachsen a=1 und b=3/5.

Zusammensetzen und technische Anwendungen

Zwei abwickelbare Regelflächen können jeweils längs einer Geraden abgeschnitten und so zusammengesetzt werden, dass die beiden Geraden zu einer gemeinsamen Geraden mit gemeinsamer Tangentialebene werden. Wird eine abwickelbare mit einer nicht abwickelbaren Regelfläche verbunden, ist die zusammengesetzte Fläche entlang der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar; dort ist eine unterschiedlich deutlich hervortretende Kante sichtbar. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die Verbindung differenzierbar sein, im Allgemeinen ist sie es jedoch nicht.

Außerhalb der Mathematik werden Regelflächen besonders im Bauwesen und in der Ingenieurarbeit eingesetzt. Antoni Gaudí verwendete solche Formen: Das Gewölbe der La Sagrada Família beschreibt mehrere Hyperboloide, hyperbolische Paraboloide und Helikoide. Weitere im Artikel genannte Regelflächen sind die Einhüllende einer einparametrigen Ebenenschar, das Oloid, die Catalansche Fläche, Konoide und Regelschraubflächen.