Kurvenintegral

Grundidee und Arten

Ein Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff auf einen Integrationsweg in der komplexen Ebene oder im mehrdimensionalen Raum. Der Weg wird durch eine Parametrisierung \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n beschrieben; seine Bildmenge \mathcal C=\gamma([a,b]) ist die Kurve. Ein Weg darf eine Kurve auch abschnittsweise mehrfach durchlaufen.

Beim Wegintegral erster Art wird eine stetige reelle Funktion beziehungsweise ein Skalarfeld f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges integriert: \int_\gamma f\,\mathrm ds=\int_a^b f(\gamma(t))\,\|\dot\gamma(t)\|_2\,\mathrm dt. Es gewichtet die Werte des Skalarfelds mit der entlang des Weges zurückgelegten Länge. Für f\equiv1 ergibt es daher die Länge des Weges.

Beim Wegintegral zweiter Art wird ein stetiges Vektorfeld \mathbf f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n integriert: \int_\gamma \mathbf f(\mathbf x)\cdot\mathrm d\mathbf x=\int_a^b\mathbf f(\gamma(t))\cdot\dot\gamma(t)\,\mathrm dt. Hier wird das Skalarprodukt mit der Bewegungsrichtung gebildet. Das skalare Wegelement oder Längenelement ist \mathrm ds=\|\dot\gamma(t)\|_2\,\mathrm dt; das vektorielle Wegelement lautet \mathrm d\mathbf x=\dot\gamma(t)\,\mathrm dt.

Parametrisierung, Orientierung und Rechenregeln

Ist \tilde\gamma=\gamma\circ\varphi eine Umparametrisierung mit einer bijektiven, differenzierbaren und damit streng monotonen Funktion \varphi:[c,d]\to[a,b], dann bleibt ein Integral erster Art unverändert: \int_\gamma f\,\mathrm ds=\int_{\tilde\gamma}f\,\mathrm ds. Ein Integral zweiter Art bleibt bei wachsendem \varphi ebenfalls gleich, bei fallendem \varphi wechselt jedoch sein Vorzeichen: \int_\gamma\mathbf f\cdot\mathrm d\mathbf x=\pm\int_{\tilde\gamma}\mathbf f\cdot\mathrm d\mathbf x. Die Orientierung, also die Durchlaufrichtung, ist daher nur für Integrale zweiter Art entscheidend. Für den rückwärts durchlaufenen Weg \gamma^- gilt \int_{\gamma^-}f\,\mathrm ds=\int_\gamma f\,\mathrm ds,\qquad \int_{\gamma^-}\mathbf f\cdot\mathrm d\mathbf x=-\int_\gamma\mathbf f\cdot\mathrm d\mathbf x. Bei gleicher Orientierung haben unterschiedliche geeignete Parametrisierungen denselben Integralwert. Deshalb kann man auch \int_{\mathcal C} statt \int_\gamma schreiben.

Für beide Arten gelten Linearität und Zerlegungsadditivität. Wird ein Weg an einem Parameterwert c geteilt, ist das Integral die Summe der Integrale über [a,c] und [c,b]. Auch für die Verknüpfung \gamma_1\oplus\gamma_2 zweier aneinander anschließender Wege ist das Integral die Summe der beiden Teilintegrale. Außerdem gilt für ein Vektorfeld \left|\int_\gamma\mathbf f(\mathbf x)\cdot\mathrm d\mathbf x\right|\leq\int_\gamma\|\mathbf f(\mathbf x)\|_2\,\mathrm ds\leq L(\mathcal C)\sup_{\mathbf x\in\mathcal C}\|\mathbf f(\mathbf x)\|_2, und entsprechend für ein Skalarfeld mit |f|.

Geschlossene Wege und typische Längenberechnungen

Für geschlossene Wege oder Kurven verwendet man statt \int die Schreibweise \oint. Sie heißt Ringintegral, Umlaufintegral oder Zirkulation; inhaltlich unterscheidet sie sich vom gewöhnlichen Kurvenintegral nur durch die Kennzeichnung, dass Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen.

Die Länge einer durch \gamma parametrisierten Kurve ist L(\mathcal C)=\int_{\mathcal C}\mathrm ds=\int_a^b\|\dot\gamma(t)\|_2\,\mathrm dt. Sie ist unabhängig von Parametrisierung und Orientierung. Ist \mathcal C der Graph von f:[a,b]\to\mathbb R mit \gamma(t)=(t,f(t)), dann gilt \|\dot\gamma(t)\|_2=\sqrt{1+f'(t)^2} und damit \int_{\mathcal C}\mathrm ds=\int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.

Eine Ellipse mit großer Halbachse a, kleiner Halbachse b und Parametrisierung (a\cos t,b\sin t) für t\in[0,2\pi] hat den Umfang \int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt=4a\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2t}\,\mathrm dt, wobei \varepsilon=\sqrt{1-b^2/a^2} die numerische Exzentrizität ist. Das rechte Integral wird elliptisches Integral genannt.

Wegunabhängigkeit und konservative Felder

Ist ein Vektorfeld \mathbf F ein Gradientenfeld, also \nabla V=\mathbf F für ein skalares Feld V, dann liefert die Kettenregel \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}V(\mathbf r(t))=\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\dot{\mathbf r}(t). Daher hängt das Wegintegral nur von Start- und Endpunkt ab: \int_{\mathcal S}\mathbf F(\mathbf x)\cdot\mathrm d\mathbf x=V(\mathbf r(b))-V(\mathbf r(a)). Es ist wegunabhängig. Insbesondere ist das Ringintegral eines solchen Feldes über eine geschlossene Kurve gleich 0.

In der Physik heißen solche Felder konservative Kraftfelder. Für die Gravitation ist V das Potential beziehungsweise die potentielle Energie; die mechanische Energie als Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt erhalten. Auf einer geschlossenen Kurve wird insgesamt Arbeit von 0\,\mathrm J verrichtet. Wegunabhängigkeit gilt allgemein nur auf einfach zusammenhängenden Gebieten oder zwischen zueinander homotopen Kurven. Ist ein Feld nur in einer kleinen Umgebung U eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von U proportional zur Windungszahl um diesen Punkt.

Komplexe Wegintegrale

Eine komplexwertige Funktion f auf [a,b] ist integrierbar, wenn Real- und Imaginärteil integrierbar sind. Dann ist \int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\operatorname{Re}f(x)\,\mathrm dx+\mathrm i\int_a^b\operatorname{Im}f(x)\,\mathrm dx. Das Integral ist \mathbb C-linear; bei stetigem f und einer Stammfunktion F gilt \int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a).

Für f:U\to\mathbb C und einen stückweise stetig differenzierbaren Weg \gamma:[0,1]\to U ist das komplexe Wegintegral definiert durch \int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=\int_0^1f(\gamma(t))\cdot\dot\gamma(t)\,\mathrm dt. Die Multiplikation ist komplex. Schreibt man f=u+iv und \gamma=\alpha+i\beta, so lässt sich dieses Integral als Summe zweier reeller Wegintegrale zweiter Art darstellen, zu den Vektorfeldern \mathbf g=(u,-v)^T und \mathbf h=(v,u)^T.

Der Cauchysche Integralsatz besagt: Für eine holomorphe Funktion hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von \gamma ab. Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet hängt es somit nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Linearität, Zerlegungsadditivität und geeignete Parametrisierungsinvarianz entsprechen dem reellen Fall. Mit L(\gamma)=\int_0^1|\dot\gamma(t)|\,\mathrm dt gilt die Standardabschätzung \left|\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz\right|\leq L(\gamma)\cdot\sup_{z\in\gamma([0,1])}|f(z)|.