Zufallsvariable

Grundidee und formale Definition

Eine Zufallsvariable beschreibt eine Größe, deren Wert vom Ausgang eines Zufallsexperiments abhängt. Sie ordnet jedem möglichen Ergebnis ω aus dem Ergebnisraum Ω einen Wert aus einer Zielmenge E zu und ist damit eine Funktion X: Ω → E. Der bei einer konkreten Durchführung angenommene Wert heißt Realisierung; bei einem stochastischen Prozess spricht man von einem Pfad.

Formal seien (Ω, Σ, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (E, Σ′) ein Messraum. Dabei ist Σ eine σ-Algebra von Ereignissen, P: Σ → [0,1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß und Σ′ eine σ-Algebra auf E. Eine E-Zufallsvariable ist eine (Σ, Σ′)-messbare Funktion X: Ω → E. Messbar bedeutet: Für jedes A ∈ Σ′ ist das Urbild X⁻¹(A) ein Ereignis aus Σ. Dadurch kann man Wahrscheinlichkeiten von Wertebereichen der Zufallsvariablen bestimmen.

Eine reelle Zufallsvariable oder Zufallsgröße hat Werte in ℝ mit der borelschen σ-Algebra. Ihre Messbarkeit lässt sich durch die Bedingung ∀x ∈ ℝ: {ω | X(ω) ≤ x} ∈ Σ beschreiben. Bei einer endlichen Ergebnismenge wählt man für Σ meist die Potenzmenge von Ω; dann ist jede solche Funktion messbar. Messbarkeit wird besonders bei überabzählbaren Ergebnismengen wichtig.

Üblicherweise stehen Großbuchstaben wie X oder S für Zufallsvariablen und Kleinbuchstaben wie x oder s für ihre Realisierungen. Die Kurzschreibweise X = a meint je nach Zusammenhang X(ω) = a beziehungsweise das Ereignis {ω | X(ω) = a}.

Verteilung und wichtige Typen

Die Verteilung einer Zufallsvariablen X ist das von X erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Bildraum. Sie ist als Bildmaß definiert durch Pˣ(A) = P(X⁻¹(A)) für alle A ∈ Σ′. Weitere Schreibweisen sind P_X, X(P) und P ∘ X⁻¹. Eine normalverteilte Zufallsvariable ist beispielsweise eine reelle Zufallsvariable, deren Verteilung eine Normalverteilung ist. Für Eigenschaften, die nur von Verteilungen oder gemeinsamen Verteilungen abhängen, muss der konkrete zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum nicht bekannt sein.

Eine vorgegebene reelle Verteilung kann etwa auf Ω = ℝ mit der borelschen σ-Algebra, dem durch die Verteilungsfunktion erzeugten Lebesgue-Stieltjes-Maß P und der identischen Abbildung X(ω) = ω verwirklicht werden. Für unabhängige Zufallsvariablen mit vorgegebenen Verteilungen sichert ein Existenzsatz von É. Borel die Konstruktion eines gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraums; grundsätzlich kann dafür das Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß dienen.

Wichtige Typen sind:

• Eine mehrdimensionale Zufallsvariable oder ein Zufallsvektor ist eine messbare Abbildung X: Ω → ℝⁿ. Sie besteht aus reellen Komponenten X = (X₁, …, Xₙ). Ihre Verteilung heißt multivariat, die Verteilungen der Komponenten heißen Randverteilungen. Erwartungswertvektor und Kovarianzmatrix entsprechen Erwartungswert und Varianz im mehrdimensionalen Fall.

• Eine komplexe Zufallsvariable nimmt Werte in ℂ an. Sie ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Re(X) und Im(X) reelle Zufallsvariablen sind.

• Eine numerische oder erweiterte Zufallsvariable darf Werte in ℝ ∪ {−∞, ∞} annehmen.

• Der Ausdruck Zufallselement wird teilweise für allgemeine Zielräume verwendet, etwa bei Zufallsfunktionen, Zufallsmatrizen, Zufallsmengen oder zufälligen Maßen.

Beispiele mit Münzen und Würfeln

Bei einem Münzwurf sei Ω = {Kopf, Zahl}. Eine Wette zahlt 1 EUR bei Zahl und sonst nichts. Dann gilt X(Kopf) = 0 und X(Zahl) = 1. Müsste man bei einer falschen Wette 1 EUR bezahlen, könnte man stattdessen X(Kopf) = −1 wählen. Dasselbe Zufallsexperiment kann somit durch unterschiedliche Zuordnungsvorschriften verschiedene Zufallsvariablen liefern.

Bei zwei Münzwürfen ist Ω = {(K,K), (K,Z), (Z,Z), (Z,K)}. X₁ kann die Auszahlung der ersten Wette, X₂ die Auszahlung der zweiten Wette und S = X₁ + X₂ die Gesamtauszahlung bezeichnen. Dann nehmen X₁ und X₂ Werte aus {0,1}, S dagegen Werte aus {0,1,2} an.

Beim zweimaligen Werfen eines fairen Würfels besteht Ω aus den 36 Paaren (n₁,n₂) mit n₁,n₂ ∈ {1,2,3,4,5,6}. Σ ist die Potenzmenge von Ω, und jedes Einzelergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/36. Die Zufallsvariablen X₁(n₁,n₂) = n₁, X₂(n₁,n₂) = n₂ und S(n₁,n₂) = n₁ + n₂ beschreiben den ersten Wurf, den zweiten Wurf und die Augensumme. Alle drei sind reelle und diskrete Zufallsvariablen; (X₁,X₂) ist ein zweidimensionaler Zufallsvektor.

Diskretheit, Unabhängigkeit und Verteilungsgleichheit

Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt beziehungsweise ihre Verteilung diskret ist. Eine konstante Zufallsvariable erfüllt X(ω) = c für alle ω ∈ Ω. Daraus folgt P(X = c) = 1; die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Gilt nur P(X = c) = 1, heißt X fast sicher konstant.

Zwei reelle Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn die von ihren Wertebereichen beschriebenen Ereignisse unabhängig sind. Für E_X = {ω | X(ω) ∈ [a₁,b₁]} und E_Y = {ω | Y(ω) ∈ [a₂,b₂]} muss für alle entsprechenden Intervalle gelten: P(E_X ∩ E_Y) = P(E_X)P(E_Y). Allgemein ist eine Familie unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilung dem Produkt der Verteilungen ihrer Komponenten entspricht. Beim zweimaligen Würfelwurf sind X₁ und X₂ unabhängig, X₁ und S dagegen nicht.

Zufallsvariablen sind identisch verteilt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind. X₁ und X₂ beim zweimaligen Würfelwurf sind identisch verteilt, X₁ und S nicht. Folgen, deren Glieder unabhängig und identisch verteilt sind, heißen u.i.v. oder i.i.d. Beim dreimaligen unabhängigen Würfeln sind X₁, X₂ und X₃ u.i.v.; jedes Ergebnis (n₁,n₂,n₃) hat die Wahrscheinlichkeit 1/6³ = 1/216. Die Summen S₁,₂ = X₁ + X₂ und S₂,₃ = X₂ + X₃ sind identisch verteilt, aber wegen des gemeinsamen X₂ nicht unabhängig. S₁,₂ und X₃ sind unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Eine Familie heißt austauschbar, wenn ihre Verteilung durch das Vertauschen endlich vieler Variablen unverändert bleibt. Austauschbare Zufallsvariablen sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendig unabhängig.

Kenngrößen und Transformationen

Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen X mit Verteilung P_X lautet F_X(x) = P_X((−∞,x]) für x ∈ ℝ. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens den Wert x annimmt. Bei einer absolut stetigen Zufallsvariablen ergänzt eine Wahrscheinlichkeitsdichte die Verteilungsfunktion und ermöglicht die Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten. Das Wort „stetig“ wird allerdings in zwei Bedeutungen verwendet: Eine Zufallsvariable kann eine Dichte besitzen, also absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes sein, oder lediglich eine stetige Verteilungsfunktion besitzen. Im zweiten Fall gilt insbesondere P(X = x) = 0 für jedes x ∈ ℝ.

Ist g: ℝ → ℝ messbar, so ist Y = g(X) ebenfalls eine Zufallsvariable. Ihre Verteilungsfunktion kann durch F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) bestimmt werden. Ist F_X stetig und Y = X², so gilt F_Y(y) = 0 für y < 0, F_Y(y) = F_X(√y) − F_X(−√y) für y ≥ 0.

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße ist E[X] = ∫_Ω X(ω) dP(ω) = ∫_ℝ x dP_X(x). Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn dieser Erwartungswert existiert und endlich ist. Sie heißt quasi-integrierbar, wenn er existiert, aber auch unendlich sein darf. Weitere wichtige Kenngrößen sind Varianz und höhere mathematische Momente.

Eine Zufallsvariable ist standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 beträgt. Aus Y entsteht durch Z = (Y − E(Y))/√Var(Y) eine standardisierte Zufallsvariable; dieser Vorgang heißt Standardisierung.

Weitere Einordnungen und Sonderfälle

Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können als stochastischer Prozess aufgefasst werden. Eine Folge von Realisierungen heißt Zufallsfolge oder Zufallssequenz. Eine Zufallsvariable X: Ω → ℝⁿ erzeugt außerdem die σ-Algebra 𝓕_X(𝓑) = {X⁻¹(B) | B ∈ 𝓑(ℝⁿ)}, wobei 𝓑(ℝⁿ) die borelsche σ-Algebra von ℝⁿ ist.

Nicht jede Zufallsvariable ist diskret oder stetig. Bei der Lebensdauer T einer Maschine kann 0 < P(T = 0) < 1 gelten, weil die Maschine von Anfang an ausfallen kann. Deshalb ist T nicht stetig. Zugleich kann P(T = t₀) = 0 für jedes t₀ > 0 gelten, sodass T auch nicht diskret ist. Ein weiteres Beispiel ist die Wartezeit eines Autos vor einer Ampel. Solche Fälle lassen sich in einen diskreten und einen stetigen Anteil zerlegen.