Stochastik

Grundidee und Bedeutung

Stochastik ist die Mathematik des Zufalls beziehungsweise der Daten und des Zufalls. Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik und umfasst vor allem Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. „Stochastisch“ bedeutet „zufällig“. Ein Ereignis heißt zufällig, wenn sein Eintreten prinzipiell nicht vorhersehbar ist.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt Begriffe bereit, um Vorgänge mit zufälligen Ereignissen mathematisch zu modellieren. Sie untersucht Zufallsprozesse bei fest vorgegebenen, bekannten Wahrscheinlichkeiten und ihre Gesetze. Die mathematische Statistik baut darauf auf: Sie bestimmt aus Beobachtungsdaten Modellparameter und beurteilt, ob eine Modellierung angemessen ist.

Stochastik gliedert sich in zahlreiche Teilbereiche. Zur reinen Stochastik gehören etwa Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Prozesse, stochastische Analysis, stochastische Differentialgleichungen, Theorie der Zufallsmatrizen, stochastische Geometrie, Theorie der großen Abweichungen und Warteschlangentheorie. Statistische Teilgebiete sind unter anderem mathematische Statistik, multivariate Statistik, Regressionsanalyse, Bayessche Statistik, Ereigniszeitanalyse, Zeitreihenanalyse und räumliche Statistik. Anwendungen finden sich beispielsweise in Biostatistik, Versicherungsmathematik, Finanzmathematik, Data Science, statistischer Mechanik und Quantenmechanik.

Wahrscheinlichkeiten als Prognosen

Wahrscheinlichkeiten sind Prognosen. Sie können erstens Vorhersagen über den Ausgang zukünftiger Ereignisse ermöglichen und zweitens beurteilen helfen, wie gewöhnlich oder ungewöhnlich ein bereits eingetretenes Ereignis ist. Bewähren sich Prognosen nicht, müssen sie revidiert werden.

Eine Prognose kann ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse sein. Nach dem Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff kann sie außerdem den Grad persönlicher Überzeugung ausdrücken und damit eine Erweiterung der Aussagenlogik darstellen.

Für ein Ereignis E gibt es drei im Artikel genannte Zugänge zu Wahrscheinlichkeiten:

• Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit theoretisch vor dem Experiment bestimmt.
• Bei beliebig oft wiederholbaren Zufallsexperimenten kann die relative Häufigkeit als Schätzwert dienen. Man teilt die absolute Häufigkeit, also die Zahl geglückter Versuche, durch die Zahl aller Versuche. Dieser frequentistische Ansatz beruht auf vielen gleichartigen Beobachtungen. Bei einer Binomialverteilung sind bei einem Laplace-Würfel mehr als 5 555 Wiederholungen nötig, bei anderen Zufallsvorrichtungen im ungünstigsten Fall mehr als 10 000, damit sich in rund 95 % solcher langen Versuchsserien die relative Häufigkeit um höchstens 1 % von der unbekannten Wahrscheinlichkeit unterscheidet. Ohne Wissen über die Verteilung der Ergebnisse sind erheblich mehr Versuche erforderlich.
• Eine subjektive Wahrscheinlichkeit ist ein persönlicher Überzeugungsgrad, dass E eintritt. Sie orientiert sich an eigener Erfahrung und ist von eigenen Wünschen geprägt.

Wahrscheinlichkeiten werden mit P bezeichnet. Sie haben keine Einheit und liegen zwischen 0 und 1 einschließlich der Grenzen. Dieselbe Wahrscheinlichkeit kann als Prozentzahl, Dezimalzahl, Bruch, Quote oder Verhältniszahl angegeben werden, zum Beispiel 20 %, 0,2, 2/10, 2 von 10, 1 von 5 oder 1 zu 4. Dabei ist die Unterscheidung wichtig: „1 zu 4“ bedeutet ein gewünschtes Ereignis gegenüber vier ungewünschten Ereignissen, also insgesamt fünf Ereignisse und damit „1 von 5“.

Laplace-Regel und Grundbedingungen

Ein Laplace-Experiment besitzt endlich viele mögliche Versuchsausgänge, und alle diese Ausgänge sind gleich wahrscheinlich. Beispiele sind das Würfeln mit idealen Würfeln, das Werfen einer idealen Münze, wenn sie nicht auf dem Rand liegen bleibt, und die Ziehung der Lottozahlen. Für ein Ereignis E gilt:

P(E) = Anzahl der für das Ereignis E günstigen Versuchsausgänge / Anzahl aller möglichen Versuchsausgänge.

Die Kolmogorov-Axiome nach Andrei Kolmogorov beschreiben grundlegende Annahmen der Stochastik. Daraus folgen wichtige Bedingungen: Die Ergebnismenge Ω umfasst alle möglichen Versuchsausgänge und hat Wahrscheinlichkeit 1, also P(Ω) = 1. Das unmögliche Ereignis ∅ hat Wahrscheinlichkeit 0, also P(∅) = 0. Für jedes Ereignis E gilt 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Zum Gegenereignis Ē, also zum Nichteintreten von E, gilt P(E) + P(Ē) = 1. In einem vollständigen System von Ereignissen Eᵢ müssen die Ereignisse paarweise disjunkt sein, also nicht gleichzeitig eintreten können, und ihre Vereinigungsmenge muss Ω sein. Dann gilt: Σᵢ₌₁ⁿ P(Eᵢ) = 1.

Bei endlich vielen Ausgängen bedeutet Wahrscheinlichkeit 0, dass ein Ereignis unmöglich ist, und Wahrscheinlichkeit 1, dass es sicher eintritt. Bei unendlich vielen Ausgängen gelten diese Umkehrschlüsse nicht immer. Wird eine gleichverteilte reelle Zahl aus [0,1] gezogen, hat jede einzelne Zahl Wahrscheinlichkeit 0, ist aber dennoch als Ergebnis möglich; die Ziehung der 2 ist dagegen unmöglich. Beim fortgesetzten Würfeln bis zur ersten 6 hat das Ereignis, dass irgendwann eine 6 fällt, Wahrscheinlichkeit 1, doch es ist nicht sicher, dass tatsächlich einmal eine 6 fallen muss. Ein sicheres Ereignis beim sechsseitigen Würfel ist beispielsweise: Es wird keine Sieben gewürfelt oder es wird eine Zahl zwischen 1 und 6 gewürfelt.

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Kombinatorik befasst sich mit Fragestellungen über endliche Mengen. Sie hilft insbesondere dabei, die Anzahl möglicher Ergebnisse zu bestimmen, etwa im Urnenmodell. Beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln werden vier Grundfälle unterschieden:

• Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge; ein Sonderfall ist k = n, wenn alle Kugeln gezogen werden.
• Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
• Ziehen mit unmittelbarem Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge.
• Ziehen mit unmittelbarem Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

In der modernen Kombinatorik werden solche Aufgaben als Abbildungen formuliert; ihre zentrale Aufgabe ist dann das Aufzählen dieser Abbildungen.

Zur Wahrscheinlichkeitstheorie gehören neben Wahrscheinlichkeit, Ergebnis, Ereignis und Ergebnismenge unter anderem Baumdiagramme und Pfadregeln, Urnenmodelle und die Laplace-Formel. Weitere wichtige Begriffe sind Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, bedingte Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes und Vierfeldertafel sowie Zufallsvariable. Behandelt werden auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen, etwa Gleichverteilung, diskrete und stetige Verteilungen, Binomial-, Multinomial-, Normal-, Exponential-, Bernoulli-, hypergeometrische, Poisson- und Mischverteilung, außerdem Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion.

Statistik, Spieltheorie und Anwendungen

Statistik ist eine auf Wahrscheinlichkeitstheorie beruhende Methodik zur Analyse quantitativer Daten. Sie verbindet empirische Daten mit theoretischen Modellen. Die beschreibende oder deskriptive Statistik sammelt Daten über Zufallsgrößen, stellt Häufigkeitsverteilungen grafisch dar und beschreibt sie mit Lage- und Streuungsmaßen. Daten stammen aus einer Stichprobe, die Auskunft über die Verteilung von Merkmalen in einer Grundgesamtheit geben soll. Wichtige Darstellungen sind Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Histogramm und Stamm-Blatt-Diagramm. Zur explorativen Datenanalyse gehören Minimum, Quartil, Quantil, Median, Maximum und Boxplot; außerdem werden verschiedene Mittelwerte, Stichprobenvarianz, Stichprobenstandardabweichung, Abweichung und Spannweite verwendet.

Die beurteilende oder schließende Statistik zieht aus Daten einer Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit. Solche Aussagen bleiben immer mit Unsicherheit verbunden; diese wird mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeschätzt. Typische Aufgaben sind das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und das Testen von Hypothesen, einschließlich Testen nach Bayes.

Die Spieltheorie untersucht Systeme mit mehreren Akteuren, etwa Spielern oder Agenten. Sie analysiert rationales Entscheiden in sozialen Konkurrenz- und Konfliktsituationen. Stochastik ist relevant, wenn die beste Strategie eine zufällige Entscheidung verlangt, wie beim Kampf der Geschlechter, oder wenn Akteure nicht die vollständige Situation kennen und auf Grundlage ihrer Vermutungen eine optimale Strategie wählen müssen.

Anwendungen der Stochastik sind unter anderem Glücksspiele, Risikoanalyse bei Überbuchung, medizinische Studien und Arzneimittelforschung, Klimaforschung, Qualitätskontrolle, Wettervorhersagen, Versicherungsprämien, Warteschlangen und Ampelsteuerungen, Krankheitsausbreitung, Meinungsforschung, Portfolio-Analyse, Marketing-Strategien bei Banken, Gesprächsdauern, Containerterminals und Quantenphysik. Genannte Anwendungsbeispiele sind Teilungsproblem, De-Méré-Paradoxon, Geburtstagsparadoxon, Ziegenproblem, Bertrand-Paradoxon, Sankt-Petersburg-Paradoxon und Sammelbilderproblem.