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Was ist eine Zufallsvariable?

studiVEMINT5:28 1.829 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

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Transkriptautomatisch erstellt · 43 Zeilen
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  1. In diesem Video lernst du, was eine Zufallsvariable ist und wofür sie in der Stochastik hilfreich ist.
  2. Eine Zufallsvariable wird auch Zufallsgröße genannt und ordnet jedem Ergebnis aus dem Ergebnisraum eine reelle Zahl zu.
  3. Sie hilft uns dabei, die Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten im Sachzusammenhang besser zu beschreiben.
  4. Um die Nützlichkeit von Zufallsvariablen zu verdeutlichen, schauen wir uns zunächst mal ein Beispiel an.
  5. Auf einer Kirmes steht dieses Glücksrad mit zehn gleichgroßen Sektoren. Für einen Einsatz von einem Euro dürfen wir mit ausreichend Schwung an dem Glücksrad drehen.
  6. Dabei nehmen wir intuitiv an, dass die Wahrscheinlichkeit, in einem der zehn Felder zu landen, proportional zur Fläche des jeweiligen Sektors ist.
  7. Da die Sektoren alle gleich groß sind, gehen wir hier von einem Laplace-Model aus: Jedes Ergebnis trifft also mit der Wahrscheinlichkeit von ein-zehntel ein.
  8. Es gelten folgende Gewinnregeln: Falls das Glücksrad so stehen bleibt, dass der Pfeil auf ein Feld mit einer geraden Zahl zeigt,
  9. gehen wir leer aus. Wir machen dann also einen Euro Verlust. Bei den Feldern drei, fünf und neun, bekommen wir den Euro wieder zurück.
  10. Wir machen dann also keinen Verlust, aber auch keinen Gewinn. Bleibt das Glücksrad aber so stehen, dass es auf eins der Felder eins oder sieben zeigt,
  11. bekommen wir drei Euro ausgezahlt. Wir machen dann also einen Gewinn von zwei Euro. Wir setzen nun den Einsatz von einem Euro und drehen an dem Glücksrad.
  12. Leider zeigt der Pfeil auf das Feld mit der Nummer sechs. Damit verlieren wir unseren Einsatz. Wir drehen deswegen nochmal an dem Glücksrad und schauen, ob wir dieses Mal Glück haben.
  13. Das Glücksrad bleibt jetzt so stehen, dass der Pfeil auf das Feld mit der neun zeigt. Damit machen wir zwar keinen Gewinn, wir bekommen aber zumindest unseren Einsatz wieder.
  14. In dieser tabellarischen Zuordnung wird jedem möglichen Ergebnis des Glücksrads, also den Feldern eins bis zehn, das jeweilige Resultat zugeordnet.
  15. Wir ordnen also jedem möglichen Ergebnis aus unserer Ergebnismenge Ω eine reelle Zahl zu. In diesem Fall ist die reelle Zahl der Gewinn, der bei einem Einsatz von einem Euro entsteht.
  16. Verlieren wir den Einsatz, machen wir dementsprechend einen Euro Verlust, welcher durch „-1€ Gewinn“ dargestellt wird.
  17. Wir definieren damit eine Funktion G, welche von der Ergebnismenge Omega auf die Menge mit den reellen Zahlen abbildet.
  18. Solch eine Funktion nennt man Zufallsvariable oder auch Zufallsgröße, da ihr Wert vom Zufall abhängt.
  19. Der Wertebereich von G besteht aus der Menge mit den Zahlen -1, 0 und 2. Für das Ergebnis zehn nimmt die Zufallsvariable G z. B. den Wert -1 an.
  20. Die Zufallsvariable gehört zu den zentralen Begriffen in der Stochastik. Deswegen schauen wir uns jetzt noch einmal die vollständige Definition dieses Begriffs an.
  21. Für einen endlichen Ergebnisraum nennen wir eine Abbildung, die jedem Ergebnis aus der Ergebnismenge Omega eine reelle Zahl zuordnet, Zufallsgröße oder Zufallsvariable.
  22. Gilt für ein beliebiges Ergebnis, dass G von Omega gleich a ist, so sagen wir auch, dass die Zufallsvariable den Wert a angenommen hat.
  23. Mit der Menge W bezeichnen wir die Menge, die alle Werte enthält, die die Zufallsvariable annehmen kann.
  24. In unserem Beispiel mit dem Glücksrad waren das die möglichen Gewinne, also -1, 0 und 2. Deswegen nennen wir diese Menge auch den Wertebereich der Zufallsgröße.
  25. In der Stochastik bezeichnen wir allgemeine Zufallsgrößen oft auch mit den Großbuchstaben X, Y oder Z.
  26. In einem Sachzusammenhang, wie z. B. im Kontext von Glücksspielen, benutzen wir andere Bezeichnungen wie z. B. hier das G, welches dann für den Gewinn steht.
  27. In diesem Kontext schauen wir uns nun noch ein weiteres Beispiel an. Für einen Einsatz von zwei Euro werfen wir gleichzeitig drei faire Münzen.
  28. Im Vergleich zu dem Beispiel zu Beginn handelt es sich hier jetzt um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
  29. Die Ergebnisse des Ergebnisraums sind also Tupel mit drei Einträgen. Dabei steht der erste Eintrag für das Ergebnis der ersten Münze,
  30. der zweite Eintrag für das Ergebnis der zweiten Münze und der dritte Eintrag für das Ergebnis der dritten Münze.
  31. Insgesamt enthält die Ergebnismenge damit acht Ergebnisse. Wir gehen auch hier wieder davon aus,
  32. dass diese acht Ergebnisse alle gleichwahrscheinlich sind. Bei dem Glücksspiel gelten folgende Gewinnregeln:
  33. Zeigen bei dem Glücksspiel zwei der drei Münzen Zahl, so bekommen wir unseren Einsatz zurück. Zeigen alle drei Münzen Zahl, so bekommen wir sieben Euro ausgezahlt
  34. und machen damit einen Gewinn von fünf Euro. Bei allen anderen Kombinationen verlieren wir unseren Einsatz.
  35. In dieser Tabelle wird jedem Ergebnis des Glücksspiels der jeweilige Gewinn in Euro zugeordnet.
  36. Wie in dem Beispiel zu Beginn haben wir wieder jedem Ergebnis aus dem Ergebnisraum Omega eine reelle Zahl zugeordnet.
  37. Dabei ist die reelle Zahl der Gewinn, der bei einem Einsatz von zwei Euro entsteht. Diese Zuordnung können wir wieder durch eine Zufallsvariable beschreiben.
  38. Da wir uns wieder im Kontext von Glücksspielen befinden, nennen wir die Zufallsvariable erneut G. Beispielsweise nimmt die Zufallsvariable für das Ergebnis "Kopf, Kopf, Zahl" den Wert -2 an.
  39. In diesem Video hast du den Begriff der Zufallsvariable kennengelernt. Man muss beachten, dass wir hier nur endliche Wahrscheinlichkeitsräume
  40. und damit auch nur endliche Teilmengen von reellen Zahlen betrachten, die als Werte einer Zufallsvariable in Frage kommen.
  41. In der Stochastik sind allerdings auch Wahrscheinlichkeitsräume von Bedeutung, die beliebig viele Elemente umfassen,
  42. sodass Zufallsvariablen beliebige Teilmengen aus den reellen Zahlen annehmen können. Wenn du mehr über Zufallsvariablen erfahren willst,
  43. dann schau dir den studiVEMINT-Kurs und die weiteren Videos an.

Zum Nachlesen

ZufallsvariableBeispiele für reelle Zufallsvariablen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem Glücksspiel. Zufallsvariablen können aber auch … WahrscheinlichkeitDie Wahrscheinlichkeit ist ein allgemeines Maß der Erwartung für ein unsicheres Ereignis. Auf der einen Seite sollen Vorhersagen (Prognosen) über den … ZufallsexperimentZufallsexperiment ; Eigenschaften · Es gibt einen genau festgelegten Plan zur Durchführung. · Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt.