Σ-Algebra

Kernidee und Definition

Eine σ-Algebra ist in Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie ein Mengensystem über einer Grundmenge Ω. Sie besteht aus Teilmengen von Ω und legt fest, welche Mengen als messbar gelten, also welchen Mengen man zum Beispiel ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Das Paar (Ω, Σ) heißt messbarer Raum.

Formal gilt: Sei Ω eine Menge und sei P(Ω) ihre Potenzmenge. Ein Mengensystem A ⊆ P(Ω) heißt σ-Algebra auf Ω, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: Ω ∈ A; mit jeder Menge B ∈ A liegt auch ihr Komplement B^c = Ω \ B in A; und für jede Folge A_1, A_2, A_3, … von Mengen aus A liegt auch die abzählbare Vereinigung ⋃_{n∈N} A_n in A.

Ein erstes Beispiel: Für Ω = {a,b,c,d} ist Σ = {∅, {a,b}, {c,d}, {a,b,c,d}} eine σ-Algebra. Die leere Menge ∅ ist dabei automatisch enthalten, weil sie das Komplement von Ω ist.

Warum σ-Algebren gebraucht werden

σ-Algebren entstehen aus dem Versuch, einen mathematisch sauberen Volumenbegriff zu definieren. Intuitiv möchte man jeder Menge M ⊆ R^3 ein Volumen Vol(M) ∈ [0,∞] zuordnen. Dieses Volumen soll verschiebungsinvariant und rotationsinvariant sein, der Einheitswürfel [0,1]^3 soll Volumen 1 haben, und bei abzählbar vielen disjunkten Mengen soll das Volumen der Vereinigung gleich der Summe der Einzelvolumina sein. Diese letzte Eigenschaft heißt σ-Additivität.

Die Frage, ob eine solche Funktion für alle Teilmengen existiert, heißt Maßproblem. Nach dem Satz von Vitali ist dieses Problem in der genannten Form unlösbar: Es gibt keine Abbildung mit allen geforderten Eigenschaften. Deshalb schwächt man die Forderung ab, dass jede Menge ein Volumen haben muss. Stattdessen betrachtet man nur ein geeignetes Mengensystem messbarer Mengen.

Dieses Mengensystem soll die Grundmenge enthalten, mit jeder Menge auch ihr Komplement enthalten und mit abzählbar vielen Mengen auch deren Vereinigung enthalten. Daraus folgen auch die leere Menge und abzählbare Schnitte. Genau diese Forderungen sind die Eigenschaften einer σ-Algebra. Darum dienen σ-Algebren als sinnvolle Definitionsbereiche für Maße und Wahrscheinlichkeiten.

Wichtige Eigenschaften

Aus der Definition folgt zuerst: Jede σ-Algebra enthält ∅, denn ∅ = Ω^c. Außerdem ist sie nicht nur unter abzählbaren Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Schnitten abgeschlossen. Das folgt aus den De Morganschen Gesetzen, insbesondere aus

⋂{n∈N} A_n = (⋃{n∈N} A_n^c)^c.

Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte erlaubt sind, sind auch endliche Vereinigungen und Schnitte erlaubt. Für eine endliche Vereinigung kann man zum Beispiel nach A_1, …, A_m alle weiteren Mengen A_j = ∅ setzen. Für endliche Schnitte setzt man entsprechend A_j = Ω. Auch Mengendifferenzen liegen wieder in der σ-Algebra, denn A \ B = A ∩ B^c.

Ist A eine endliche σ-Algebra, dann hat sie immer eine Mächtigkeit der Form |A| = 2^n für eine positive ganze Zahl n. Jede σ-Algebra ist außerdem eine Mengenalgebra, weil sie insbesondere unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist. Umgekehrt ist nicht jede Mengenalgebra eine σ-Algebra. Ein Beispiel ist {A ⊆ N | A oder N \ A ist endlich}; dort ist die unendliche Vereinigung {1,3,5,…} = {1} ∪ {3} ∪ {5} ∪ … nicht enthalten.

Beispiele und besondere Formen

Für jede Menge Ω ist {∅, Ω} die kleinste mögliche σ-Algebra; sie heißt triviale σ-Algebra. Die Potenzmenge P(Ω) ist die größte mögliche σ-Algebra auf Ω. Für eine Teilmenge A ⊆ Ω ist {∅, A, A^c, Ω} die kleinste σ-Algebra, die A enthält.

Ein weiteres Beispiel ist A_4 = {A ⊆ Ω | A abzählbar oder A^c abzählbar}. Dabei bedeutet abzählbar: endlich oder abzählbar unendlich. Sind Ω und Ω′ Mengen, A′ eine σ-Algebra auf Ω′ und T: Ω → Ω′ eine Abbildung, dann ist T^{-1}(A′) = {T^{-1}(A′): A′ ∈ A′} eine σ-Algebra auf Ω. Dies ist ein Beispiel einer Initial-σ-Algebra.

Besonders wichtig ist die borelsche σ-Algebra. Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen eines topologischen Raums enthält. Sie passt natürlich zur Topologie, enthält auch viele wichtige Mengen wie offene und abgeschlossene Mengen, und alle stetigen Funktionen sind bezüglich der borelschen σ-Algebra messbar.

Weitere besondere Formen sind Spur-σ-Algebren, Unter-σ-Algebren, Produkt-σ-Algebren, zylindrische σ-Algebren und separable σ-Algebren. Für E ⊆ Ω ist die Spur von A in E gegeben durch A|_E = {A ∩ E | A ∈ A}; sie ist wieder eine σ-Algebra, nun mit Grundmenge E. Eine Unter-σ-Algebra ist ein Mengensystem M ⊆ A, das selbst eine σ-Algebra auf derselben Grundmenge Ω ist. Eine separable σ-Algebra besitzt einen abzählbaren Erzeuger; ein Beispiel ist die borelsche σ-Algebra auf R^n, die sich von Quadern mit rationalen Eckpunkten erzeugen lässt.

Operationen und Erzeugung

Schnitte von σ-Algebren über derselben Grundmenge sind wieder σ-Algebren. Das gilt nicht nur für zwei, sondern für beliebig viele σ-Algebren. Diese Eigenschaft ist die Grundlage des σ-Operators.

Vereinigungen von σ-Algebren sind dagegen im Allgemeinen keine σ-Algebren. Im Artikel wird dies mit zwei σ-Algebren auf {1,2,3} gezeigt, deren Vereinigung weder unter Vereinigungen noch unter Schnitten stabil ist: Sie enthält etwa {1} und {3}, aber nicht {1} ∪ {3} = {1,3}; außerdem enthält sie {1,2} und {2,3}, aber nicht {1,2} ∩ {2,3} = {2}. Um aus mehreren σ-Algebren wieder eine σ-Algebra zu erhalten, verwendet man den Join-Operator ⋁{i∈I} A_i = σ(⋃{i∈I} A_i).

Der σ-Operator ist für M ⊆ P(Ω) definiert durch σ(M) = ⋂_{A∈F(M)} A, wobei F(M) die Menge aller σ-Algebren auf Ω ist, die M enthalten. Dadurch ist σ(M) die kleinste σ-Algebra, die M umfasst. M heißt Erzeuger dieser σ-Algebra. Der σ-Operator ist ein Hüllenoperator: M ⊆ σ(M), aus M ⊆ N folgt σ(M) ⊆ σ(N), und σ(σ(M)) = σ(M).

Produkte von σ-Algebren werden nicht einfach als kartesische Produkte der einzelnen σ-Algebren definiert, denn ein solches Produkt ist im Allgemeinen keine σ-Algebra, sondern nur ein Halbring. Deshalb verwendet man Produkt-σ-Algebren: Bei endlich vielen σ-Algebren ist die Produkt-σ-Algebra die kleinste σ-Algebra, die alle kartesischen Produkte von Elementen der einzelnen σ-Algebren enthält.

Bedeutung in Teilgebieten

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für Maßräume und Wahrscheinlichkeitsräume. Das Banach-Tarski-Paradoxon zeigt, dass auf überabzählbaren Mengen die Potenzmenge als σ-Algebra für Volumenfragen zu groß sein kann; deshalb sind andere σ-Algebren mathematisch nötig.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie heißen σ-Algebren oft Ereignissysteme, weil sie Ereignisse enthalten. Eine weitere wichtige σ-Algebra ist die terminale σ-Algebra, die bei Grenzwerten auftritt und für eine Folge von σ-Algebren beschreibt, welche Mengen von allen endlichen Anfangsstücken der Folge unabhängig sind.

In der Theorie stochastischer Prozesse sind Filtrierungen besonders wichtig: Das sind ineinander geschachtelte Familien von σ-Algebren, die darstellen, welche Information zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügbar ist. In der stochastischen Finanzmathematik dürfen Integranden, also Handelsstrategien, zu einer Zeit t nur von Informationen bis ausschließlich t abhängen und nicht in die Zukunft schauen. Weitere Beispiele sind die vorhersagbare σ-Algebra, die σ-Algebra der τ-Vergangenheit und die austauschbare σ-Algebra.

In der Ergodentheorie treten unter anderem die σ-Algebra der invarianten Ereignisse und P-triviale σ-Algebren auf. P-triviale σ-Algebren enthalten nur Mengen mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1. In der mathematischen Statistik gibt es die suffiziente σ-Algebra, die alle Mengen enthält, die bezüglich einer gegebenen Verteilungsklasse Informationen tragen. Mengen außerhalb davon können ohne Informationsverlust weggelassen werden. Verwandt sind die minimalsuffiziente, stark suffiziente, verteilungsfreie und vollständige σ-Algebra.

Verwandte Mengensysteme sind Dynkin-Systeme und σ-Ringe. Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System; umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkin-System eine σ-Algebra. Der Dynkinsche π-λ-Satz besagt: Ist E ein durchschnittsstabiles Mengensystem, dann stimmen die von E erzeugte σ-Algebra und das von E erzeugte Dynkin-System überein. Jede σ-Algebra ist außerdem ein σ-Ring, der die Grundmenge enthält; nicht jeder σ-Ring ist aber eine σ-Algebra.