Ergebnis (Stochastik)

Kernbegriff und Definition

Ein Ergebnis ist eine grundlegende Einheit der Stochastik. Es kann auf zwei gleichwertigen Wegen eingeführt werden:

• In einem bereits gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\Sigma,P) heißt jedes Element der Ergebnismenge \Omega ein Ergebnis.
• Bei der Modellierung eines Zufallsexperiments heißt jeder mögliche Ausgang des Experiments ein Ergebnis. Alle möglichen Ergebnisse werden anschließend zur Ergebnismenge \Omega zusammengefasst.

Für ein einzelnes Ergebnis verwendet man meistens das Zeichen \omega. In der Literatur kommen auch Bezeichnungen wie Zufallsergebnis, Grundereignis, atomares Ereignis, Merkmal oder Element eines Wahrscheinlichkeitsraums vor. Die Bezeichnung „Elementarereignis“ ist nicht eindeutig und sollte daher besonders sorgfältig verwendet werden.

Bedeutung im Wahrscheinlichkeitsmodell

Ergebnisse sind die kleinsten Einheiten eines stochastischen Modells. Einem einzelnen Ergebnis wird zunächst keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Stattdessen werden die Ergebnisse in der Ergebnismenge \Omega gesammelt.

Auf \Omega legt man diejenigen Teilmengen fest, denen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden sollen. Diese Teilmengen heißen Ereignisse. Die Gesamtheit der zulässigen Ereignisse bildet das Ereignissystem \Sigma, eine σ-Algebra. Das Ereignissystem ist mit der Definitionsmenge in der Analysis vergleichbar: Nur seinen Elementen kann das Wahrscheinlichkeitsmaß P eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.

Das Tripel (\Omega,\Sigma,P) aus Ergebnismenge, Ereignissystem und Wahrscheinlichkeitsmaß heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Es bildet die Grundlage für weitere stochastische Untersuchungen.

Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis

Ergebnisse und Ereignisse dürfen nicht gleichgesetzt werden:

• Ein Ergebnis ist ein Element der Ergebnismenge. Beim Würfeln ist beispielsweise die Zahl 6 ein Ergebnis.
• Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge und enthält Ergebnisse als Elemente. Beim Würfeln ist daher \{6\} ein Ereignis, aber kein Ergebnis. Auch \{1,2\} ist ein Ereignis mit mehreren Ergebnissen.

Ist \omega ein Ergebnis, muss die einelementige Menge \{\omega\} nicht notwendigerweise ein Ereignis sein. Das hängt davon ab, ob diese Teilmenge zum Ereignissystem \Sigma gehört. Daher können Ergebnisse selbst keine Wahrscheinlichkeit erhalten; Wahrscheinlichkeiten werden ausschließlich den im Ereignissystem enthaltenen Ereignissen zugeordnet.

Typische Beispiele

Beim Modellieren eines Würfelwurfs sind die möglichen Ausgänge die Zahlen von 1 bis 6. Die Ergebnisse lauten entsprechend \omega_1=1,\omega_2=2,\omega_3=3,\omega_4=4,\omega_5=5,\omega_6=6.

Bei der Lebensdauer eines Elektrobauteils kann der Defekt zu jeder beliebigen Zeit nach Beobachtungsbeginn auftreten. Die Ergebnisse haben deshalb die Form \omega=x mit x\geq 0 und x\in\mathbb{R}.

Ergebnisse müssen nicht bloß Zahlen sein. Bei möglichen Ladungsverteilungen in einem Kristallgitter kann ein Ergebnis beispielsweise ein knotengewichteter Graph sein, dessen Knotengewichte 0, 1 oder -1 sind.

In dem Wahrscheinlichkeitsraum (\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),P) mit einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsmaß P ist jede natürliche Zahl ein Ergebnis, weil sie ein Element der Ergebnismenge \mathbb{N} ist.

Mehrdeutiger Begriff Elementarereignis

Der Ausdruck „Elementarereignis“ wird in der Literatur uneinheitlich gebraucht. Manchmal bezeichnet er ein einzelnes Ergebnis \omega. Dann ist der Bestandteil „Ereignis“ irreführend, weil Ergebnisse und Ereignisse verschiedene mathematische Objekte sind. In anderen Darstellungen bezeichnet „Elementarereignis“ bei einer diskreten Ergebnismenge ein einelementiges Ereignis der Form \{\omega\}.

Für eine klare Unterscheidung werden daher häufig „Ergebnis“ oder „Ausgang“ für die Elemente von \Omega verwendet. Ein Ereignis wird dagegen als eine aus Ergebnissen bestehende Menge aufgefasst.