Variable (Mathematik)

Begriff und Rolle von Variablen

Eine Variable, in der Schulmathematik auch Unbekannte genannt, ist ein Name für eine Leerstelle in einem logischen oder mathematischen Ausdruck. Sie kann als Platzhalter für ein Objekt dienen. Setzt man für eine Variable ein konkretes Objekt ein, muss an jeder Stelle, an der die Variable vorkommt, dasselbe Objekt eingesetzt werden.

Heute werden meist Buchstaben verwendet. In Physik und Ingenieurwissenschaften steht ein Formelzeichen für eine nicht notwendig numerisch festgelegte oder zunächst veränderliche physikalische Größe oder Zahl. Bei Bedarf werden Buchstaben durch Indices oder andere Zeichen ergänzt.

Treten mehrere Variablen in einem Zusammenhang auf, unterscheidet man unabhängige und abhängige Variablen. Die unabhängigen Variablen gehören zu einer Definitionsmenge oder einem Definitionsbereich; die abhängigen zu einer Wertemenge oder einem Wertebereich.

Unabhängige und abhängige Variablen

Eine unabhängige Variable kann innerhalb ihres Definitionsbereichs frei gewählt werden; häufig wird sie mit x bezeichnet. Der Durchmesser d eines Kreises kann beispielsweise jeden positiven reellen Wert annehmen.

Eine abhängige Variable erhält ihren Wert durch andere Variablen. Beim Kreis sind Umfang U und Durchmesser d durch

U = π · d

verbunden. Ist d festgelegt, ist auch U eindeutig bestimmt. Man kann die Zuordnung jedoch auch umkehren: Wird U vorgegeben, ist der Durchmesser die abhängige Variable mit

d = U/π.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird die unabhängige Variable üblicherweise auf der waagerechten, die abhängige auf der senkrechten Achse dargestellt. Ein Liniendiagramm kann diese Abhängigkeit veranschaulichen.

Parameter, Konstanten und weitere Arten

Ein Parameter, auch Formvariable, ist grundsätzlich eine unabhängige Variable, wird in einer bestimmten Betrachtung aber als festgehaltene Größe behandelt. Für den Bremsweg s eines Fahrzeugs gilt beispielsweise

s = f · v².

Der Bremsweg hängt vor allem von der Geschwindigkeit v ab. f ist ein Parameter; bei genauerer Betrachtung hängt sein Wert wiederum von weiteren Parametern wie der Griffigkeit des Straßenbelags und der Profiltiefe der Reifen ab.

In x² + px + q = 0 sind p und q Formvariablen für konkrete reelle Zahlen, während die Gleichung zur Bestimmung von x dient. In y = mx + b ist x unabhängig, m und b sind Parameter und y hängt von diesen drei Variablen ab. Jedes Parameterpaar (m,b) beschreibt genau eine Gerade. Bei festem m entsteht eine Schar paralleler Geraden mit der Steigung m; b ist der y-Achsenabschnitt und dabei ein Scharparameter. Der Einfluss verschiedener Parameterwerte kann durch eine Kurvenschar gezeigt werden.

Konstanten sind konkrete unveränderliche Zahlen oder festliegende Größen, die ebenfalls durch Formelzeichen dargestellt werden können. Bei unsicheren oder unrichtigen Messwerten steht das Zeichen meist für den unbekannten wahren Wert. Beispiele sind π = 3,1415… und die Elementarladung e = 1,602… · 10⁻¹⁹ C. Weitere Arten sind Laufvariablen in Summen und Produkten, statistische Variablen sowie freie und gebundene Variablen der mathematischen Logik.

Gleichungen, Abhängigkeiten und Beweise

Eine Gleichung ist nicht immer für alle Werte ihres Definitionsbereichs wahr. Dann werden die Werte gesucht, für die sie eine wahre Aussage ergibt. Sind Bernhard und Anna zusammen 24 Jahre alt und ist Bernhard doppelt so alt wie Anna, beschreibt a Annas Alter. Es gilt 3a = 24, also ist Anna 8 und Bernhard 16 Jahre alt. Die Gleichung x² − 5x + 6 = 0 besitzt die beiden Lösungen x₁ = 2 und x₂ = 3.

Funktionale Abhängigkeiten beschreiben mathematisch angebbare Zusammenhänge, etwa physikalisch-technische Gesetzmäßigkeiten. Der elektrische Gleichstromwiderstand R eines metallischen Drahtes lautet

R = ρ · l/A.

Dabei sind die Materialkonstante ρ, die Länge l und die Querschnittsfläche A unabhängige Variablen; R ist die abhängige Variable.

Variablen ermöglichen außerdem allgemeine Beweise. Für natürliche Zahlen einschließlich der Null ist die Differenz benachbarter Quadrate stets ungerade. Mit der binomischen Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² folgt:

(n + 1)² − n² = (n² + 2n + 1) − n² = 2n + 1.

Da 2n + 1 die Folge der ungeraden Zahlen beschreibt, gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen n. Eine Zufallsvariable beziehungsweise stochastische Variable ist davon abzugrenzen: Sie ist keine Variable, sondern eine Funktion, deren Werte von den Zufallsergebnissen eines Zufallsversuchs abhängen.