Pfad (Stochastik)

Grundidee

In der Stochastik bezeichnet ein Pfad eine konkrete Realisierung eines stochastischen Prozesses. Ein stochastischer Prozess beschreibt zunächst, welche Zustände oder Werte grundsätzlich möglich sind. Ein Pfad legt für einen bestimmten Ausgang des Zufallsgeschehens fest, welcher Wert tatsächlich zu jedem Index angenommen wird.

Wird die Indexmenge als Zeit und der Prozesswert als räumliche Position aufgefasst, dann „läuft“ der Prozess mit zunehmender Zeit einen Pfad ab. Ein Pfad ist daher eine Konkretisierung oder Auswertung des Prozesses. Beim Würfel entspricht der Prozess dem möglichen Potential, eine Augenzahl anzunehmen; ein einzelner Wurf konkretisiert dieses Potential durch eine bestimmte Augenzahl.

Mathematische Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess X=(X_t)_{t\in I} auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal A,P) mit Indexmenge I\subset\mathbb R, der Werte in E annimmt.

Für ein festes \omega\in\Omega heißt die Abbildung t\mapsto X_t(\omega) mit Definitionsmenge I und Zielmenge E ein Pfad von X. Der Pfad entsteht also, indem der Zufallsausgang \omega festgehalten wird und anschließend jedem Index beziehungsweise Zeitpunkt t der konkrete Prozesswert X_t(\omega) zugeordnet wird.

Bei zwei Beispielpfaden eines Standard-Wiener-Prozesses kann die grau schraffierte Fläche die Standardabweichung \pm\sqrt{\operatorname{Var}(X_t)}=\pm\sqrt t markieren.

Eigenschaften einzelner Pfade

Für die Untersuchung von Pfaden interessieren Eigenschaften wie Stetigkeit. Dazu braucht die Zielmenge E zusätzliche mathematische Strukturen, beispielsweise eine Metrik. Allgemein sind Pfade Funktionen in einer reellen Variablen. Mit einer geeigneten Struktur auf der Zielmenge können sie daher auch Eigenschaften wie Differenzierbarkeit besitzen.

Besitzt die Abbildung t\mapsto X_t(\omega) für fast alle \omega\in\Omega eine Eigenschaft A, so sagt man, der Prozess besitze diese Eigenschaft fast sicher. Auf diese Weise spricht man von stetigen, càdlàg- oder differenzierbaren stochastischen Prozessen. „Fast sicher“ bedeutet dabei, dass die Eigenschaft für alle Zufallsausgänge außer möglicherweise für eine Menge mit Wahrscheinlichkeit null gilt.

Beispiel und Verwendung

Ein Bernoulli-Prozess ist eine unabhängig identisch Bernoulli-verteilte Folge von Zufallsvariablen X=(X_n)_{n\in\mathbb N} mit Parameter p\in(0,1). Mögliche Pfade sind beispielsweise

• 0-0-1-1-0-1-1-1-0-0-1-0-1-\dots
• 1-0-0-1-0-1-0-1-0-1-1-0-1-\dots

Für die Betrachtung als mögliche Pfade ist ihre konkrete Wahrscheinlichkeit unerheblich, solange sie möglich sind.

Pfade werden häufig zur Modellierung und Visualisierung stochastischer Prozesse verwendet. Außerdem werden manche Prozesse über die Eigenschaften ihrer Pfade klassifiziert:

• linksstetig: fast alle Pfade sind linksseitig stetig;
• rechtsstetig: fast alle Pfade sind rechtsseitig stetig;
• stetig: fast alle Pfade sind stetig;
• RCLL- oder càdlàg: fast alle Pfade sind RCLL;
• differenzierbar, hölderstetig und Ähnliches: fast alle Pfade besitzen die jeweilige Eigenschaft.

Beim Wiener-Prozess wird beispielsweise in der Definition gefordert, dass er stetig ist.