Stochastischer Prozess

Grundidee und formale Definition

Ein stochastischer Prozess, auch Zufallsprozess genannt, ist ein mathematisches Modell für zufällige, häufig zeitlich geordnete Vorgänge. Er erweitert die Wahrscheinlichkeitstheorie und bildet eine Grundlage der stochastischen Analysis. Im einfachsten Fall beschreibt er eine zufällige Funktion: Jede mögliche Ausführung des Zufallsvorgangs ergibt einen gewöhnlichen Funktionsverlauf, den man Pfad, Trajektorie oder Realisierung nennt.

Formal sei (Ω, 𝓕, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Z, 𝓩) ein mit einer σ-Algebra 𝓩 versehener Raum und T eine Indexmenge. Häufig ist Z = ℝ mit der Borelschen σ-Algebra, während T beispielsweise ℕ₀ oder ℝ₊ ist. Die Indexmenge stellt in Anwendungen oft die betrachteten Zeitpunkte dar.

Ein stochastischer Prozess X ist eine Familie von Zufallsvariablen (Xₜ)ₜ∈T mit Xₜ: Ω → Z. Zusammengefasst ist er die Abbildung X: Ω × T → Z, (ω, t) ↦ Xₜ(ω), wobei für jedes t ∈ T die Abbildung Xₜ: ω ↦ Xₜ(ω) 𝓕-𝓩-messbar sein muss. Der Raum Z heißt Zustandsraum; er enthält alle Werte, die der Prozess annehmen kann. In der Physik wird der Zustandsraum auch als Phasenraum bezeichnet, und T heißt ebenfalls Parametermenge.

Alternativ kann X als eine einzige Zufallsvariable Ω → (H, 𝓗) aufgefasst werden. Dabei ist H ⊆ Zᵀ ein mit einer geeigneten σ-Algebra 𝓗 versehener Funktionenraum aller Abbildungen f: T → Z. Diese Sichtweise beschreibt den gesamten zufälligen Funktionsverlauf auf einmal. Bei geeigneter Wahl des Funktionenraums stimmen beide Formulierungen überein.

Ob Prozesse mit vorgegebenen Eigenschaften überhaupt existieren, wird weitgehend durch den Satz von Daniell-Kolmogorow und den Satz von Ionescu-Tulcea geklärt.

Wichtige Einteilungen

Die grundlegende Klassifikation erfolgt nach der Indexmenge T und dem Zustandsraum Z:

• Ist T als Zeitindex abzählbar, etwa T = ℕ₀, heißt der Prozess zeitdiskret. Ist T ein Teilintervall von ℝ, spricht man von einem zeitstetigen Prozess.

• Ist Z endlich oder abzählbar, ist der Prozess zustandsdiskret oder wertediskret. Ist Z ein Teilintervall von ℝ, heißt er zustandsstetig oder wertestetig.

• Für Z ⊆ ℝ ist der Prozess reellwertig, für Z ⊆ ℂ komplexwertig. Liegt Z in ℝⁿ oder ℂⁿ, spricht man von einem n-dimensionalen beziehungsweise vektorwertigen Prozess.

• Wenn T ⊆ ℝⁿ mit n > 1 gilt, wird der Prozess Zufallsfeld oder zufälliges Feld genannt. Häufig sind T = ℝ² oder T = ℝ³, insbesondere bei Modellen der Geostatistik.

Zusätzlich werden Prozesse nach ihren Momenten klassifiziert. Der Erwartungswert beschreibt den mittleren Wert, die Varianz die Streuung; das Vorhandensein dieser Größen ist jedoch nicht selbstverständlich:

• Ein reellwertiger Prozess ist integrierbar, wenn E(|Xₜ|) < ∞ für alle t ∈ T gilt.

• Er ist quadratintegrierbar, wenn E(Xₜ²) < ∞ für alle t ∈ T gilt. Ein quadratintegrierbarer Prozess heißt auch Prozess zweiter Ordnung.

• Er ist zentriert, wenn E(Xₜ) = 0 für alle t ∈ T gilt.

Abhängigkeiten, Pfade und Zuwächse

Eine weitere Einteilung richtet sich nach den stochastischen Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen des Prozesses. Diese Eigenschaften werden meist über den bedingten Erwartungswert beschrieben.

Markow-Prozesse besitzen ein „kurzes Gedächtnis“: Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zustand anzunehmen, hängt vom Zustand ab, in dem sich der Prozess zuvor befand, nicht aber von seiner gesamten Vergangenheit. Martingale modellieren dagegen ein faires Spiel. Wenn bis zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits ein Betrag gewonnen wurde, entspricht der Erwartungswert der künftigen Gewinne genau diesem bereits gewonnenen Betrag. Submartingale und Supermartingale gehören zu derselben Klasse verwandter Abhängigkeitseigenschaften.

Für jedes ω ∈ Ω entsteht der Pfad X(·, ω): T → Z mit t ↦ X(t, ω) = Xₜ(ω). Ein Pfad ist somit ein zufälliger Punkt im Raum der Funktionen von T nach Z. Bei zeitstetigen Prozessen kann man untersuchen, ob alle Pfade stetig, rechtsseitig stetig, linksseitig stetig oder càdlàg sind. Càdlàg bedeutet, dass ein Pfad rechtsseitig stetig ist und an jeder Stelle der linksseitige Grenzwert existiert. Der Wiener-Prozess besitzt fast sicher stetige Pfade. Der Poisson-Prozess ist ein zeitstetiger, wertediskreter càdlàg-Prozess.

Außerdem betrachtet man die Zuwächse, also Ausdrücke der Form Xₜ₁ − Xₜ₀ für t₁, t₀ ∈ T. Je nach Eigenschaften dieser Zuwächse unterscheidet man Prozesse mit stationären, unabhängigen oder normalverteilten Zuwächsen. Lévy-Prozesse sind genau die stochastischen Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen.

Stochastische Prozesse und Zeitreihen

Die Theorie stochastischer Prozesse ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematik. Die Zeitreihenanalyse gehört dagegen zur Statistik. Sie geht von einer konkreten Zeitreihe aus, also von einer endlichen Folge zeitlich geordneter Daten. Diese Daten werden mit Methoden der deskriptiven Statistik beschrieben oder mithilfe spezieller stochastischer Modelle wie ARMA- und ARCH-Modellen erklärt.

Eine beobachtete Zeitreihe kann als endlicher Ausschnitt eines Pfades eines zeitdiskreten oder zeitstetigen stochastischen Prozesses verstanden werden. Eine wichtige Aufgabe der statistischen Zeitreihenanalyse besteht darin, die Parameterstruktur der Verteilung eines stochastischen Prozesses aus einer vorliegenden Zeitreihe zu schätzen.

Während bei stochastischen Prozessen die mathematische Struktur der modellierten Zufallsfunktionen im Vordergrund steht, untersucht man unter anderem Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Variation und Messbarkeit bezüglich bestimmter Filtrierungen. Die Zeitreihenanalyse beginnt mit empirischen Daten und verbindet dadurch Beobachtung und theoretisches Modell.

Typische Beispiele

Ein zeitdiskretes Beispiel ist die symmetrische Irrfahrt in Form eines Glücksspiels. Ein Spieler startet zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Kapital von 10 Euro. Bei jedem Münzwurf gewinnt er bei „Kopf“ einen Euro und verliert bei „Zahl“ einen Euro. Die Zufallsvariablen Xₜ für t ∈ ℕ₀ geben den Kontostand nach t Spielen an; der Start ist deterministisch durch X₀ = 10 festgelegt. Dieser Prozess ist genauer betrachtet sowohl ein Lévy-Prozess als auch ein Martingal.

Gauß-Prozesse bilden eine vielseitig verwendete Klasse stochastischer Prozesse. Sie können viele natürliche Systeme beschreiben und werden auch als Verfahren des maschinellen Lernens eingesetzt. Ein besonders bedeutender Gauß-Prozess ist der Wiener-Prozess, auch Brownsche Bewegung genannt. Seine einzelnen Zustände sind normalverteilt und besitzen eine linear anwachsende Varianz. Er wird unter anderem in der stochastischen Integration, der Finanzmathematik und der Physik verwendet.

Weitere im Artikel genannte Beispiele sind der Bernoulli-Prozess, die Brownsche Brücke, die gebrochene Brownsche Bewegung, die Markow-Kette, der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, der Poisson-Prozess und das weiße Rauschen.