Zufallsexperiment

Begriff und Grundidee

Ein Zufallsexperiment, auch Zufallsvorgang oder Zufallsversuch genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Mehrere Ergebnisse sind möglich, aber das konkrete, erfassbare Ergebnis eines einzelnen Versuchs kann nicht vorhergesagt werden. Beispiele sind das Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels. Ein Zufallsexperiment ist vom randomisierten Experiment zu unterscheiden.

Obwohl der Ausgang jedes einzelnen Versuchs zufällig ist, können sich bei hinreichend häufiger Wiederholung Gesetzmäßigkeiten erkennen lassen. Diese Gesetzmäßigkeiten werden mathematisch erfasst. Die interessierenden Größen eines Zufallsexperiments heißen Zufallsvariablen, also Größen, die vom zufälligen Ergebnis abhängen.

Eigenschaften und Durchführung

Damit ein Vorgang als Zufallsexperiment gilt, müssen drei Bedingungen erfüllt sein:

• Es gibt einen genau festgelegten Plan zur Durchführung.
• Alle möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt.
• Das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs ist nicht vorhersagbar; es liegt Zufälligkeit vor.

Ein Zufallsexperiment kann einmalig und unwiederholbar sein. Es kann aber auch eine Serie von Durchführungen ermöglichen, bei der die Versuche gleichwertig und von Durchführung zu Durchführung voneinander unabhängig sind. Außerdem kann ein Zufallsexperiment einstufig oder mehrstufig sein. Bei einem mehrstufigen Experiment können die einzelnen Stufen stochastisch unabhängig oder voneinander abhängig sein.

Bei Computerprogrammen werden zufällige Ereignisse häufig simuliert. Dazu berechnen geeignete Algorithmen scheinbar zufällige Zahlen, die Pseudozufallszahlen genannt werden. Sie wirken zufällig, entstehen aber durch ein Rechenverfahren.

Einstufige und mehrstufige Experimente

Bei einem einstufigen Zufallsexperiment wird der Versuch nur einmal durchgeführt. Typische Beispiele sind:

• einmaliges Werfen eines Würfels oder einer Münze,
• einmaliges Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel,
• einmaliges Drehen eines Glücksrades oder eines Kreisels.

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren Schritten, die jeweils selbst Zufallsexperimente sind. Eine einfache Form ist die mehrmalige Wiederholung eines einzelnen Zufallsexperiments. Mehrstufige Vorgänge lassen sich häufig mit Baumdiagrammen darstellen.

Beispiele sind zweimaliges Würfeln, das Ziehen mehrerer Lose aus einer Lostrommel oder mehrerer Kugeln aus einer Urne mit oder ohne Zurücklegen. Auch eine Verbindung verschiedener Zufallsversuche ist möglich: Zuerst wird gewürfelt, anschließend werden so viele Kugeln aus einer Urne gezogen, wie die Augenzahl des Würfels angibt.

Je nach Fragestellung kann ein mehrstufiges Experiment manchmal durch ein einstufiges ersetzt werden. Dann lässt sich das mehrstufige Baumdiagramm durch einen Sparbaum oder sogar durch einen einzigen Pfad ersetzen. Ein Beispiel ist das Würfeln, bis eine „6“ erzielt wird, höchstens jedoch zehnmal.