Realisierung (Stochastik)

Grundidee

Eine zufällige Realisierung oder Realisation ist in der Stochastik ein konkreter Wert, den eine Zufallsvariable annimmt. Eine Zufallsvariable ist dabei eine mathematische Funktion, die Ergebnissen eines Zufallsvorgangs Werte zuordnet. Die Realisierung entspricht also dem Funktionswert für ein bestimmtes Ergebnis.

Beispiel: Beschreibt eine Zufallsvariable einen fairen Würfel, dann ist eine gewürfelte Augenzahl eine Realisierung dieser Zufallsvariable. Üblicherweise schreibt man Zufallsvariablen mit Großbuchstaben, ihre Realisierungen mit Kleinbuchstaben.

Definition

Gegeben sei eine Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝒜, P). Dann heißt für ω ∈ Ω

x = X(ω)

eine Realisierung von X. Dabei ist ω ein mögliches Ergebnis aus dem Grundraum Ω, und x ist der konkrete Wert, den X bei diesem Ergebnis annimmt.

Beispiele und Bedeutung

Ist X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann ist jede natürliche Zahl kleiner oder gleich n eine mögliche Realisierung. Ist X normalverteilt, dann ist jede reelle Zahl eine mögliche Realisierung.

In der mathematischen Statistik sind Realisierungen wichtig, weil Stichproben als Realisierung einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung aufgefasst werden. Aus der beobachteten Realisierung versucht man dann, Aussagen über die Verteilung der Zufallsvariable zu gewinnen.

Bei stochastischen Prozessen treten ähnliche Objekte auf: sogenannte Pfade. Sie dienen unter anderem der Veranschaulichung solcher Prozesse. Die Realisierungen sind dort oft keine einzelnen Zahlen, sondern zum Beispiel stetige Funktionen. Zwei Realisierungen eines Standard-Wiener-Prozesses sind solche Zufallspfade.